時間複雜度的計算

2021-04-12 19:32:29 字數 1716 閱讀 7201

演算法複雜度是在《資料結構》這門課程的第一章裡出現的,因為它稍微涉及到一些數學問題,所以很多同學感覺很難,加上這個概念也不是那麼具體,更讓許多同學複習起來無從下手,下面我們就這個問題給各位考生進行分析。

首先了解一下幾個概念。乙個是時間複雜度,乙個是漸近時間複雜度。前者是某個演算法的時間耗費,它是該演算法所求解問題規模n的函式,而後者是指當問題規模趨向無窮大時,該演算法時間複雜度的數量級。

當我們評價乙個演算法的時間效能時,主要標準就是演算法的漸近時間複雜度,因此,在演算法分析時,往往對兩者不予區分,經常是將漸近時間複雜度t(n)=o(f(n))簡稱為時間複雜度,其中的f(n)一般是演算法中頻度最大的語句頻度。

此外,演算法中語句的頻度不僅與問題規模有關,還與輸入例項中各元素的取值相關。但是我們總是考慮在最壞的情況下的時間複雜度。以保證演算法的執行時間不會比它更長。

常見的時間複雜度,按數量級遞增排列依次為:常數階o(1)、對數階o(log2n)、線性階o(n)、線性對數階o(nlog2n)、平方階o(n^2)、立方階o(n^3)、k次方階o(n^k)、指數階o(2^n)。

下面我們通過例子加以說明,讓大家碰到問題時知道如何去解決。

1、設三個函式f,g,h分別為 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn

請判斷下列關係是否成立:

(1) f(n)=o(g(n))

(2) g(n)=o(f(n))

(3) h(n)=o(n^1.5)

(4) h(n)=o(nlgn)

這 裡我們複習一下漸近時間複雜度的表示法t(n)=o(f(n)),這裡的"o"是數學符號,它的嚴格定義是"若t(n)和f(n)是定義在正整數集合上的 兩個函式,則t(n)=o(f(n))表示存在正的常數c和n0 ,使得當n≥n0時都滿足0≤t(n)≤c?f(n)。"用容易理解的話說就是這兩個函式當整型自變數n趨向於無窮大時,兩者的比值是乙個不等於0的常 數。這麼一來,就好計算了吧。

◆ (1)成立。題中由於兩個函式的最高次項都是n^3,因此當n→∞時,兩個函式的比值是乙個常數,所以這個關係式是成立的。

◆ (2)成立。與上同理。

◆ (3)成立。與上同理。

◆ (4)不成立。由於當n→∞時n^1.5比nlgn遞增的快,所以h(n)與nlgn的比值不是常數,故不成立。

2、設n為正整數,利用大"o"記號,將下列程式段的執行時間表示為n的函式。

(1) i=1; k=0

while(i1

while (x>=(y+1)*(y+1))

y++;

解答:t(n)=n1/2 ,t(n)=o(n1/2), 最壞的情況是y=0,那麼迴圈的次數是n1/2次,這是乙個按平方根階遞增的函式。

(3) x=91; y=100;

while(y>0)

if(x>100)

else x++;

解答: t(n)=o(1), 這個程式看起來有點嚇人,總共迴圈執行了1000次,但是我們看到n沒有? 沒。這段程式的執行是和n無關的,就算它再迴圈一萬年,我們也不管他,只是乙個常數階的函式。

有如下複雜度關係

c < log2n < n < n * log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是乙個常量,如果乙個演算法的複雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那麼這個演算法時間效率比較高 ,如果是 2^n , 3^n ,n!,那麼稍微大一些的n就會令這個演算法不能動了,居於中間的幾個則差強人意。

時間複雜度計算

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