化實數為分數

實數包含有理數和無理數，任何有理數都可以表示為p/q(p,q是整數，q!=0)的形式，如果指定乙個分數的分母不超過某個值，對於一般的有理數或者無理數，是不可以用乙個分數來準確地表示的。我們這裡主要討論，如何找出一對分數p1/q1和p2/q2,使得q1 和q2 小於給定的值n，而p1/q1和p2/q2盡可能接近乙個給定的實數.。為了便於說明，我們用c++語言的格式給出問題的定義：

函式介面void search( int &p1, int &q1, int &p2,int &q2, int n, double f)

功能: 找出一對不可約p1/q1 和p2/q2, 使得這兩個分數的分母不大於n, 且p1/q1 <= f <= p2/q2, 且這兩個分數盡可能接近f。

在解決這個問題之前，我們先介紹一些準備知識。

定義1：最簡分數（也稱既約分數或不可約分數）。若p,q的最大公約數是1，我們稱分數p/q 是最簡分數。

不特別說明，以下提到的分數的分子和分母均為非負整數。

定義2：真分數，若p,q是正整數，0

定理1：分數a/b, c/d是最簡真分數（也可以是0/1或者1/1）且a/b 1）數(a+c)/(b+d)是乙個最簡分數，

2） a/b < (a+c)/(b+d)

我們這裡僅對第二個結論給出證明。我們定義r1 =a /b, r2= c/d, 則

（a+c）/(b+d) – a/b

= (ab+cb-ab-ad)/(bb+bd)

=(cb-ad)/(bb+bd)

=(r2*bd-r1bd)/(bb+bd)

= (r2-r1)*bd / (bb+bd) >0

固(a+c)/(b+d)>a/b。同理可證 (a+c)/(b+d) < c/d

定義3：法雷數列

對任意給定的乙個自然數n，將分母小於等於n的不可約的真分數按公升序排列，並且在第乙個分數之前加上0/1，在最後乙個分數之後加上1/1，這個序列稱為n級法雷數列，以fn表示。如f5為：1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5.

法雷數列的構造：

法雷數列的構造可採用2分法，即如果 a/b， c/d （a/b

step1: 準備兩個數 0/1, 1/1 作為整個法雷數列的第乙個元素和最後乙個元素

0/1, 1/1

step2: 在兩個數中間插入1個數1/2, 變為

0/1, 1/2, 1/1

step3: 在每對相鄰兩個數中間插入1個數，變為

0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1

step4: 在每對相鄰兩個數中間插入1個數，變為

0/1, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 1/1

step5: 0/1 和 1/4 之間和3/4和 1/1 仍然可插入1個數，使得插入的數分母不大於5

0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4,4/5, 1/1

至此，該序列包含了所有分母不大於5的最簡真分數，且各個分數以遞增順序排列。

法雷數列的性質：

1.除了1級法雷數列外，所有的法雷數列都有奇數個元素，其中居於正中間的那個元素一定是1/2.

2.當n趨於正無窮時，n級法雷數列包含的元素的個數趨於3/(π*π) * n

2≈ 0.30396355 * n

2.3.n級法雷數列中，若相鄰兩個元素是a/b 和c/d (a/b

實數化分數方法

對於有理數0，我們可以用0/1表示；對於有理數x<0, 總可以表示為 –(p/q), 其中p>0,q>0；而對於所有大於等於1的正有理數，總可以表示為 n + p/q ( n, p, q為非負整數，q!=1, p= a/b且f<=c/d，a/b稱為實數f的下界，c/d稱為實數f的上界，求這個下界和上界實際上是找出乙個n級法雷數列中兩個相鄰的元素。下面是化乙個小於1的正實數為分數的演算法。

step1: 置實數f 的下界為 a/b=0/1, 上界為c/d =1/1。

step2: 計算出下界和上界之間的數 p/q = (a+c)/(b+d)

step3: 若 q>n(分母大於指定值），計算中止。

若 abs(p/q-f)小於指定的值=, 計算中止。

若 p/q > f, 置下界a/b為p/q

若 p/q< f, 置上界c/d為p/q

step4, 重複step 2-3

當計算終止時，a/b為這個實數的下界，c/d為這個實數的上界。

上述方法確定方法的初始上界和下界範圍較寬。我們可用下面的方法直接求得更精確的上界和下界。

case 1: f<1/2, 計算1/f向下取整得到整數c, 則實數f的下界和上界為 1/(c+1)和1/c。

case 2: f>1/2, 計算1/(1-f)向下取整得到整數c, 則實數f的下界和上界為 (c-1)/c和c/(c+1)。

誤差分析，根據法雷數列性質3我們知道，n級法雷數列中相鄰的兩個元素可以表示乙個區間 [a/b, c/d]，前乙個元素q/b為區間的下界，後乙個元素c/d為區間的上界，這個區間的寬度h =c/d- a/b,滿足 1/n <= h <1/(n*n-1)。若運氣好的話，乙個實數正好落在乙個寬度為1/n(n-1) 的區間，這個區間的下界或上界與這個實數的差不超過abs(1/(n*(n-1)))。若運氣很差，乙個實數恰好小於法雷序列的第2個元素或者最後乙個元素。則這個元素的下界和上界與這個實數的差不超過1/n。

下面給出一段示例**，這段**可計算出sqrt(2),sqrt(3),sqrt(5) 以及無理數π和e的分數表示。

#include "math.h"

#include "stdlib.h"

#include "stdio.h"

typedef struct _frac

frac;

double getvalue( frac f)

//f必須為正數

void searchfrac( frac* plow, frac* phigh,int n, double f)

else

mid.numerator= low.numerator + high.numerator;

mid.denominator=low.denominator + high.denominator;

while ( mid.denominator < n && fabs(f-getvalue(mid))>1e-15 )

else

mid.numerator= low.numerator+ high.numerator;

mid.denominator=low.denominator + high.denominator; }

if (k>0)

*phigh = high;

*plow =low;}

int main(int argc, char* argv);

for (int i=0;i

1.第36次程式設計比賽第1題題目 — 程式設計愛好者論壇：

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