by:
潘雲登
對於商業目的下對本文的任何行為需經作者同意。
寫在前面1.
本文內容取自《演算法導論》(第
2版)》，題目多為書中習題。書與習題答案可以從這裡（
part1
，part2 2.
所提供的**都是參考書或習題答案編寫，在
gcc-4.3.3
下簡單測試過。 3.
makefile
檔案可以參考《
makefile
備忘錄》中的範例編寫。 4.
希望本文對您有所幫助。關於題目的理解和實現，都極有可能包含錯誤，歡迎隨時提出意見和建議。 5.
enjoy youself j
題目索引題目
1. 兩數之和
題目2.
霍納規則
題目3.
逆序對題目
4. 區間計數 題目
5. 選擇問題
題目6.
兩陣列中位數
題目1.
兩數之和(
習題
2.3-7)
237_sum.c
題目索引
請給出乙個執行時間為
θ(n lg n)
的演算法，使之能在給定乙個由
n個整數構成的集合
s和另乙個整數
x時，判斷出
s中是否存在有兩個其和等於
x的元素。
解題步驟： 1.
對陣列s
進行歸併排序。 2.
構造陣列
s』=，並排序。由於
s已經有序，構造與排序可一併完成。 3.
刪除s中重複的元素使僅保留乙個，對
s』進行同樣的操作。 4.
合併s和s』
，並保證合併後有序，這裡可以使用歸併排序的思想。 5.
如果在合併後的陣列中存在連續兩個相同的元素，並且這種元素的個數大於
1，那麼有解。
設想在合併後的陣列中存在連續兩個w，則
w分別屬於s和
s』，那麼
s中存在y使得
w=x-y
，即x=y+w
。因此，
s中元素w和
y的和為x。
步驟1的執行時間為
θ(n lg n)
，其餘步驟執行時間為
θ(n)
，因此總的時間代價為
θ(n lg n)。
題目2.
霍納規則(
習題
2-3)
23_horner.c
題目索引
對多項式
p(x)=∑k=0..n akxk
進行求值。
樸素多項式求值演算法，使用雙重迴圈計算多項式的每一項，
p(x)=∑k=0..n akxk =a0+a1x+…+anxn
，執行時間為
θ(n2)。
霍納規則，將多項式展開為如下形式後，
p(x)=∑k=0..n akxk =a0+x(a1+x(a2+…+x(an-1+xan)))
，用累計計算將時間代價降低為
θ(n)。
y <-
an i
<-
nwhile(i>=0)
do y
<-
ai + x * y
i <-
i-1
題目3.
逆序對(
習題
2-4)
24_inversion.c
題目索引 設
a[1..n]
是乙個包含
n個不同數的陣列。如果在
i的情況下，有
a[i]>a[j]
，則(i,j)
就稱為a
中的乙個逆序對。給出乙個演算法，它能用
θ(n lg n)
的最壞情況執行時間，確定
n個元素的任何排列中逆序對的數目。
如果沒有執行時間要求，則可以用插入排序的思想進行計數。實際上，逆序對正是基於比較的排序演算法在迴圈過程中試圖消除的。也就是說，在排序演算法的迴圈過程中，能夠對逆序對進行統計。因此，這裡可以修改時間代價為
θ(n lg n)
的歸併排序，進行求解。
題目4.區間計數(
習題
8.2-4)
824_counting.c
題目索引
請給出乙個演算法，使之對於給定的介於0到k之間的n個整數進行預處理，並能在o(1)時間內，回答出輸入的整數中有多少個落在區間[a..b]內。你給出的演算法的預處理時間應是
θ(n+k)。
本題條件符合計數排序
對每乙個輸入元素
x，確定出小於
x的元素個數
c[x]
。然後，c[b]-c[a-1]即為落在區間[a..b]內的整數個數。
題目5.選擇問題(
第
9章)
c92_select.c
題目索引
在平均情況下，以線性時間，在乙個由n個元素組成的集合中，選擇第i小的元素。
一種用來解決選擇問題的分治演算法，以快速排序
演算法為模型。區別在於，這裡只要遞迴地處理劃分的一邊。
int randomized_select(int *array, int p, int r, int i)
題目6.兩陣列中位數(
習題
9.3-8)
938_median.c
題目索引
設x[1..n]和y[1..n]為兩個陣列，每個都包含n個已排好序的數。給出乙個求陣列x和y中所有2n個元素的中位數的、o(lg n)時間的演算法。
o(lg n)
的時間要求不允許線性比較陣列的每乙個元素，只能進行二分查詢。假設兩陣列的中位數字於陣列x中，且下標為k，那麼陣列x中有k個元素小於等於x[k]和n-k個元素大於等於x[k]，同時，陣列y中有n-k個元素小於等於x[k]和k個元素大於等於x[k]，並且y[n−k]
≤x[k]≤y[n
−k+1]
。因此，本題解法可以使用二分法，從陣列x的x[(1+n)/2]元素開始，遞迴檢查上述條件是否成立，以確定中位數下標k。如果在陣列x中無法確定k，可以對y進行相同的查詢。
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