並查集一點小的感悟

最近在做acm題，遇到了乙個叫做並查集的東西，於是從網上找了一些資料，順便自己總結了一些，希望對大家和自己都有用~~

（一）什麼叫做並查集

英文：disjoint set，即「不相交集合」

將編號分別為1…n的n個物件劃分為不相交集合，在每個集合中，選擇其中某個元素代表所在集合。

常見兩種操作：

1、n合併兩個集合

2、n查詢某元素屬於哪個集合

例如，並查集一般用陣列來實現，用陣列的下標序號作為其元素的代號，其中的每個元素都屬於乙個集合，初始條件下每個元素所屬的集合中只有其乙個元素，例如對於元素i來說，其所屬的集合為set[i]，在實際應用中要將各個集合進行合併，用編號最小的元素的下標作為整個集合的代號。

n 用編號最小的元素標記所在集合；

n 定義乙個陣列 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；

例如上圖中，目前元素1、3、7都屬於集合1，也就是set[1]=set[3]=set[7]=1;同理，元素2、5、9、10都屬於集合2，等等。用數學語言描述，不相交的集合共有四個： , , ,

上面的演算法的實現過程如下：

其中，左圖表示查詢相應元素所在的集合，右圖表示將兩個集合相合併，當然前提條件是引數a，b分別表示的是集合。其複雜度不難計算出來：右圖中的演算法包括乙個迴圈，此迴圈的複雜度為o(n)，當元素的個數很少是還能接受，但是當元素的個數很多時，其運算速度很難讓人接受。

為了改進合併演算法，將元素用樹的形式表示出來：

n 每個集合用一棵「有根樹」表示

n 定義陣列 set[1..n]

n set[i] = i , 則i表示本集合，並是集合對應樹的根

n set[i] = j, j<>i, 則 j 是 i 的父節點.

下面是其演算法

從樹中的每個節點開始順著其父節點向上查詢，直到找到其相應的根節點。

由於合併的時候是隨機合併的，因此容易形成左偏樹或者右偏樹，這樣不利於降低查詢演算法的複雜度，為了節省演算法開銷，作如下的改進。

n 方法：將深度小的樹合併到深度大的樹

n 實現：假設兩棵樹的深度分別為h1和h2, 則合併後的樹的高度h是:

n max(h1,h2), if h1<>h2.

n n 效果：任意順序的合併操作以後，包含k個節點的樹的最大高度不超過

其演算法如下所示：

為了進一步優化演算法，可以進行路徑壓縮：

n 思想：每次查詢的時候，如果路徑較長，則修改資訊，以便下次查詢的時候速度更快

n 步驟:

n 第一步，找到根結點

n 第二步，修改查詢路徑上的所有節點，將它們都指向根結點

演算法如下：

並查集 一點小的感悟