異或的性質和運算

**:

異或是一種基於二進位制的位運算，用符號xor或者 ^ 表示，其運算法則是對運算子兩側數的每乙個二進位制位，同值取0，異值取1。它與布林運算的區別在於，當運算子兩側均為1時，布林運算的結果為1，異或運算的結果為0。

簡單理解就是不進製加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性質1、交換律

2、結合律

3、對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x

4、自反性 a^b^b = a^0 = a

異或運算最常見於多項式除法，不過它最重要的性質還是自反性：a^b^b = a^0 = a，即對給定的數a，用同樣的運算因子（b）作兩次異或運算後仍得到a本身。這是乙個神奇的性質，利用這個性質，可以獲得許多有趣的應用。

例如，所有的程式教科書都會向初學者指出，要交換兩個變數的值，必須要引入乙個中間變數。但如果使用異或，就可以節約乙個變數的儲存空間：設有a,b兩個變數，儲存的值分別為a，b，則以下三行表示式將互換他們的值

表示式（值）

a=a^b (a=a^b)

b=b^a (b=b^a^b = a)

a=a^b (a=a^b^a = b)

類似地，該運算還可以應用在加密，資料傳輸，校驗等等許多領域。

運用距離：

1-1000放在含有1001個元素的陣列中，只有唯一的乙個元素值重複，其它均只出現

一次。每個陣列元素只能訪問一次，設計乙個演算法，將它找出來；不用輔助儲存空

間，能否設計乙個演算法實現？

解法一、顯然已經有人提出了乙個比較精彩的解法，將所有數加起來，減去1+2+...+1000的和。

這個演算法已經足夠完美了，相信出題者的標準答案也就是這個演算法，唯一的問題是，如果數列過大，則可能會導致溢位。

解法二、異或就沒有這個問題，並且效能更好。

將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

但是這個演算法雖然很簡單，但證明起來並不是一件容易的事情。這與異或運算的幾個特性有關係。

首先是異或運算滿足交換律、結合律。

所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，無論這兩個n出現在什麼位置，都可以轉換成為1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次，對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x。

所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有數的異或）。

令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的結果為t

則1^2^...^1000（序列中包含n）的結果就是t^n。

t^(t^n)=n。

所以，將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

當然有人會說，1+2+...+1000的結果有高斯定律可以快速計算，但實際上1^2^...^1000的結果也是有規律的，演算法比高斯定律還該簡單的多。

********************===

擴充套件: 如果從1到1000中隨機取出乙個數字,要快速的計算出取出的哪乙個數, 方法與上例類似.