(2007-07-24 12:10)
關於
px+qy
類命題的研究
華南師大附中
袁豪
命題
1：已知
(p,q)=1
，p≥1,q≥1
，求證不能表示為
px+qy,(x≥0,y≥0)
的最大整數是
pq-p-q
。（如無特別說明，這裡所有字母都是整數）
證：
首先證明：
pq-p-q
不能表示為
px+qy
的形式反證法：假設存在
x≥0, y≥0
使pq-p-q = px + qy
，則有pq-p-q = px + qy
óp(q-x-1)=q(y+1)
óq | q-x-1 (
因為(p,q)=1)
óq | x+1
又因為px=pq-p-q-qy
所以xó
x≤q-1
由0≤x≤q-1
以及q | x+1
可以得到：
x=q-1，有
pq-p-1=px+qy=p(q-1)+qy
óy=-1 ,
這與y≥0矛盾故
pq-p-q
不能表示為
px+qy, (x≥0,y≥0)
現在證明：對於
n>pq-p-q
，必定存在
x≥0，
y≥0使
n=px+qy
考察這樣
q個數：
nn-p
n-2p
n-3p
……n-(q-1)p這個q
個數除以
q的餘數必定構成集合
，否則必存在
0≤i使
q | (n-ip)-(n-jp)
óq | (j-i)p
óq| j-i
但是1≤j-i≤q-1
，所以不可能有
q| j-i
，於是這個
q個數除以
q的餘數必定構成集合，如果
n-up (v
為整數)除以q
的餘數為0，設
n-up=vq
，(0≤u≤q-1) ，由於
vq=n-up>(pq-p-q)- (q-1)p = -q
óv>-1
óv>=0，所以
y取v，
x取u即得
px+qy=n
證畢。
推論
1：已知
(a1,a2,a3,…,as ) = 1
，ai≥1 (1≤i≤s)，ai
互不相等，則對於
n>∏ai-∑ai ,
必定存在
xi≥0 (1≤i≤s)
，使n=∑aixi
證：可用數學歸納法證明，請同學們自己嘗試。（這個推論比較弱）
命題
2：已知
(p , q ) = 1
，p≥1,q≥1
，對於任意非負整數
n都能表示為
pu + qv, (0≤u≤q-1)
。
證1：由命題
1的證明即可
證2：由於存在整數
x,y使
n=px+qy
，所以由恒等式：
n=px+qy=p(x+qt)+q(x-pt)=p(x-qt)+q(x+pt)
可以調整出符合命題的u、
v來。推論
2：已知
(p , q ) = 1
，p≥1,q≥1
，記m=pq-p-q
，對於n (0≤n≤m)
和m-n
，其中有且只有乙個能表示為
px+qy (x≥0,y≥0)
的形式。
證：由命題２知
n,m-n
可以分別表示為：
n=px+qy (0≤x≤q-1)
m-n=pu+qv (0≤u≤q-1)
相加得m=p(x+u)+q(y+v)
ópq-p-q=px+u)+q(y+v)
óp(q-1-x-u)=q(y+v+1)
óq|(q-1-x-u)
且p|(y+v+1)
q|(q-1-x-u)
óq|x+u+1因為1
≤x+u+1
≤2q-1
所以x+u+1=q
故y+v+1=0
在這裡我們得到了x和
u與y和
v的關係式如果y
、v都小於0
，那麼0=1+y+v<=1+(-1)+(-1)=-1
，這是不可能的如果y
、v都不小於
0，那麼
0=1+u+v>=1
，這也是不可能的所以y
、v中有乙個小於
0，有乙個不小於
0也就是說n和
m-n中有乙個能表示為
px+qy (x≥0,y≥0)
的形式，另乙個則不能。
證畢。
推論
3：已知
(p,q)=1
，p≥1,q≥1
，則不能表示為
px+qy (x≥0,y≥0)
的形式的非負整數的數目為
(p-1)(q-1)/2
證：首先
p,q不同時為偶數，所以
pq-p-q+1=(p-1)(p-1)
必為偶數
由推論２知：在
[0,pq-p-q]
內的pq-p-q+1
個整數，按和為
pq-p-q
配對，共得
(pq-p-q+1)/2
對，每一對必有乙個不能表示為題目所述形式。而對於大於
pq-p-q
的整數，由命題１知必定能表示為那種形式。所以不能表示為那種形式的非負整數的數目為
(p-1)(q-1)/2
問題：已知
p,q，求
n=(p,q)
，以及滿足
px+qy=n
的x,y
演算法：輾轉相處法。
y=(n-px)/q=(n-(p mod q)x)/q-(p div q)x
記y』=x, x』=(n-(p mod q)x)/q=(n-(p mod q)y』)/q
óqx』+(p mod q)y』=n
於是我們可以遞迴的得到x』和
y』然後得出
x=y』
y=x』-(p div q)y』 附
pascal
程式：function extended_euclid(p,q:longint; var x,y:longint):longint;
vart:longint;
begin
if q=0 then
begin
extended_euclid:=p;
x:=1;
y:=0;
end else
begin
extended_euclid:=extended_euclid(q,p mod q,x,y);
t:=x;
x:=y;
y:=t-p div q*y;
end;
end;
總結：這些結論對解一些數論問題有很大的幫助。（廢話）
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