晶元測試問題 zz

題目：

(30分)

晶元測試：有2k塊晶元，已知好晶元比壞晶元多．請設計演算法從其中找出一片

好晶元，說明你所用的比較次數上限．

其中：好晶元和其它晶元比較時，能正確給出另一塊晶元是好還是壞．

壞晶元和其它晶元比較時，會隨機的給出好或是壞。

題目分析：

不妨設用晶元比較時，0表示好的判斷，1表示壞的判斷，x表示不確定的判斷。

兩個晶元進行比較時，可能出現三種情況：

a) 兩個都好 ==> (0,0)

b) 一好一壞 ==> (1,x)

c) 兩個都壞 ==> (x,x)

情況a為真，則其逆否命題也為真。知：

如果兩個晶元比較結果中出現1，則這兩個晶元中至少有乙個是壞的。 ……（一）

好晶元比壞晶元多。知：

將2k塊晶元平分為兩堆晶元，則這兩堆晶元中都至少含有乙個好的晶元。 ……（二）

根據（一）（二），可以設計如下演算法：

演算法輸入：2k塊晶元，其中好晶元比壞晶元多

演算法輸出：一片好晶元

演算法過程：

1) 將所有晶元平分為兩堆，記為a和b。

2) 如果a中只包含乙個晶元，則返回該晶元；否則從a中任取乙個晶元，記為t。

3) 將t與a中其他晶元依次進行比較，有兩種可能：

3.1) 一旦比較時結果中出現1，則將進行比較的兩片晶元排除出a，同時從b中任取乙個晶元加入a，轉至第2步；

3.2) 所有比較都得到結果(0,0)，則返回晶元t。

演算法說明：

步驟2中，如果a中只包含乙個晶元，則b中也只包含乙個晶元，由於好晶元比壞晶元多，所以只可能這兩個晶元都是好晶元。

步驟3.1中，如果比較時結果中出現1，根據（一），這兩片晶元中至少有乙個是壞的，那麼將這兩片晶元排除出a後，a和b合起來依然滿足好晶元比壞晶元多的條件，對原問題的求解轉為對同結構子問題的求解。從b中任取乙個晶元加入a，可以實現再次平分。

步驟3.2中，比較都得到結果(0,0)，則晶元t一定是好晶元。否則假設t是壞晶元，而根據（二），a中至少含有乙個好晶元，用該晶元與t比較時，得到的結果應為(1,x)，與所有結果都為(0,0)矛盾。其實可以進一步證明，此時a中所有晶元都是好晶元。

演算法複雜度分析：

最壞的情況下，總是不進入步驟3.2，且每次步驟3.1中都是比較到最後一塊晶元才出現結果1，則此時需要比較的總次數為(k-1)+(k-2)+...+1 = k*(k-1)/2；因此該演算法時間複雜度為o(n^2)，其中n為總的晶元個數。