poj 1173 具有重複的組合和容斥原理

題目描述

計算bc(n,k,m)，就是x1+x2+...+xk=n，其中1<=xi<=m,有多少個解？這些解順序排列，輸入乙個排列，計算它是第幾個？

詳見http://acm.pku.edu.cn/judgeonline/problem?id=1173。

如bc(7,4,2)，有16個解

0: 1000100  |  8: 1100100

1: 1000110  |  9: 1100110

2: 1001000  | 10: 1101000

3: 1001100  | 11: 1101100

4: 1001110  | 12: 1101110

5: 1011000  | 13: 1110010

6: 1011100  | 14: 1110100

7: 1100010  | 15: 1110110

然後輸入

7 4 3

51001110
1110110
1001100
1001110
1000100

輸出

16415

340

題目分析

ioi的題，做的我好爽呀。很多解題報告用觀察的方法，我是通過組合數學分析的，也算是另乙個思路吧。而且我相信從數學原理分析問題，

分析的更透徹，對本質把握的更好一些。
首先具有重複的組合數。若從k種物品中選出n個物品，其中每種物品可以原則無限多個，成為具有重複的組合數,這個組合數等於c(n+k-1,k-1).這個題等價於簡單的數學表達是x1+x2+...+xk=n，其中xi>=0,有多少個解.
證明：把n個物品排成一排，用k-1個欄杆對它們進行劃分，如下圖所示
。。。|。。。|。。。
。||。。。。。。。。
這裡n=9，k=3，第乙個劃分對應3+3+3=9；第二個劃分對應1+0+8=9.劃分和解是一一對應。
劃分有c(n+k-1,k-1)種，所以解有c(n+k-1,k-1)種。
其次，容斥原理。集合a1不具有性質p1，集合a2不具有性質p2，...，那麼不具有性質p1和p2...的集合中的元素的個數滿足...原諒我懶得把這個公式打出來，如果你想知道，網上隨便就搜出來了。
那麼回到本題，x1+x2+...+xk=n，其中1<=xi<=m的解的個數怎麼計算呢？ (1)
首先用xi=yi+1代替上式，得到y1+y2+...+yk=n-k，其中0<=yi<=m-1.
現在考慮式子z1+z2+...+zk=n-k，其中z0>=m;zi>=0 (i!=1) (2)
用a1表示解中不具有0<=z1<=m-1的性質，但是其它解可以任取非負值，那麼就是(2)的解。
要解(2)式，用z1=w1+m代替，則w1可取任意值，這轉化為可以求解的問題。
(2)式可以計算了，根據容斥原理就可以解(1)式。
至於排序的問題，觀察觀察就出來了，詳情就看**吧。

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poj1173 多重集組合數

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