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寫乙個時間複雜度盡可能低的程式，求乙個一維陣列（n個元素）中最長遞增子串行的長度。
例如：在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，其最長遞增子串行為1，2，4，6。
分析與解法
根據題目要求，求一維陣列中的最長遞增子串行，也就是找乙個標號的序列b[0]，b[1]，... b[m]（0<=b[0]
解法一根據無後效性的定義我們知道，將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定階段的狀態來說，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的決策，而只能間接地通過當前狀態來影響。換句話說，每個狀態都是過去歷史的乙個完整總結。
同樣地，仍以序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中為例，我們在找到4之後，並不關心4之前的兩個值具體是怎樣，因為它對找到6並沒有直接影響。因此，這個問題滿足無後效性，可以使用動態規劃來解決。
可以通過數字的規律來分析目標串：1，-1，2，-3，4，-5，6，-7。
使用i來表示當前遍歷的位置：
當i=1時，顯然，最長的遞增序列為（1），序列長度為1.
當i=2時，由於-1<1。因此，必須丟棄第乙個值然後重新建立串。當前的遞增序列為（-1），長度為1.
當i=3時，由於2>1，2>-1。因此，最長的遞增序列為（1,2），（-1,2），長度為2。在這裡，2前面是1還是-1對求出後面的遞增序列沒有直接影響。
依次類推之後，可以得出如下的結論。
假設在目標陣列array的前i個元素中，最長遞增子串行的長度為lis[i]。那麼，
lis[i+1]=max，array[i+1]>array[k]，for any k<=i
即如果array[i+1]大於array[k]，那麼第i+1個元素可以接在lis[k]長的子串行後面構成乙個更長的子串行。與此同時array[i+1]本身至少可以構成乙個長度為1的子串行。
根據上面的分析，可以得到如下的**：
view plain
intlis(
int array)
} } return
max(lis);
//取lis的最大值
}
這種方法的時間複雜度為o（n^2+n）= o（n^2）。
解法二顯然o(n^2)的演算法只是乙個比較基本的解法，我們須要想想看是否能夠進一步提高效率。在前面的分析中，當考慮第i+1個元素的時候，我們是不考慮前面i個元素的分布情況的。現在我們從另乙個角度分析，即當考慮第i+1個元素的時候考慮前面i個元素的情況。
對於前面i個元素的任何乙個遞增子串行，如果這個子串行的最大的元素比array[i+1]小，那麼就可以將array[i+1]加在這個子串行後面，構成乙個新的遞增子串行。
比如當i=4的時候，目標序列為：1，-1，2，-3，4，-5，6，-7最長遞增序列為：（1,2），（-1,2）。那麼，只要4>2，就可以把4直接增加到前面的子串行形成乙個新的遞增子串行。
因此，我們希望找到前i個元素中的乙個遞增子串行，使得這個遞增子串行的最大的元素比array[i+1]小，且長度盡量地長。這樣將array[i+1]加在該遞增子串行後，便可找到以array[i+1]為最大元素的最長遞增子串行。
仍然假設在陣列的前i個元素中，以array[i]為最大元素的最長遞增子串行的長度為lis[i]。
同時，假設：
長度為1的遞增子串行最大元素的最小值為maxv[1]；
長度為2的遞增子串行最大元素的最小值為maxv[2]；
......
長度為lis[i]的遞增子串行最大元素的最小值為maxv[lis[i]]。
假如維護了這些值，那麼，在演算法中就可以利用相關的資訊來減少判斷的次數。
具體演算法實現如**所示：
view plain
intlis(
intarray)
intnmaxlis = 1;
//陣列最長遞增子串行的長度
for(
inti = 1; i < array.length; i++)
} //如果當前最長序列大於最長遞增序列長度，更新最長資訊
if(lis[i] > nmaxlis)
else
if(maxv[j] < array[i] && array[i] < maxv[j + 1])
} return
nmaxlis;
}
由於上述解法中的窮舉遍歷，時間複雜度仍然為o（n^2）。
解法三解法二的結果似乎仍然不能讓人滿意。我們是否把遞增序列中間的關係全部挖掘出來了呢？再分析一下臨時儲存下來的最長遞增序列資訊。
在遞增序列中，如果i
因此，根據這樣單調遞增的關係，可以將上面方法中的窮舉部分進行如下修改：
view plain
for(
intj = lis[i - 1]; j >= 1; j--)
} 如果把上述的查詢部分利用二分搜尋進行加速，那麼就可以把時間複雜度降為o(n*log2n)。 小結
從上面的分析中可以看出我們先提出乙個最直接（或者說最簡單）的解法，然後從這個最簡單解法來看是否有提公升的空間，進而一步一步地挖掘解法中的潛力，從而減少解法的時間複雜度。
在實際的面試中，這樣的方法同樣有效。因為面試者更加看中的是應聘者是否有解決問題的思路，不會因為最後沒有達到最優演算法而簡單地給予否定。應聘者也可以先提出簡單的辦法，以此投石問路，看看面試者是否會有進一步的提示。
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