3D數學 矩陣的更多知識(1)

2021-06-05 10:03:12 字數 2001 閱讀 9900

矩陣的行列式

在任意方陣中都存在乙個標量,稱作該方陣的行列式。

線性運算法則

方陣m的行列式記作|m|或「detm」,非方陣矩陣的行列式是未定義的。n x n階矩陣的行列式定義非常複雜,讓我們先從2 x 2,3 x 3矩陣開始。

公式9.1給出了2 x 2階矩陣行列式的定義:

注意,在書寫行列式時,兩邊用豎線將數字塊圍起來,省略方括號。

下面的示意圖能幫助記憶公式9.1,將主對角線和反對角線上的元素各自相乘,然後用主對角線元素的積減去反對角線元素的積。

3 x 3 階矩陣的行列式定義如公式9.2所示:

可以用類似的示意圖來幫助記憶。把矩陣m連寫兩遍,將主對角線上的元素和反對角線上的元素各自相乘,然後用各主對角線上元素積的和減去各反對角線上元素積的和。

如果將3 x 3階矩陣的行解釋為3個向量,那麼矩陣的行列式等於這些向量的所謂「三元組積」。

假設矩陣m有r行c列,記法m表示從m中除去第i行和第j列後剩下的矩陣。顯然,該矩陣有r-1行,c-1列,矩陣m稱作m的余子式。

對方陣m,給定行、列元素的代數余子式等於相應余子式的有符號行列式,見公式9.3:

如上,用記法cij表示m的第i行,第j列元素的代數余子式。注意余子式是乙個矩陣,而代數余子式是乙個標量。代數余子式計算式中的項(–1)(i+j)有以棋盤形式使矩陣的代數余子式每隔乙個為負的效果:

n維方陣的行列式存在著多個相等的定義,我們可以用代數余子式來定義矩陣的行列式(這種定義是遞迴的,因為代數余子式本身的定義就用到了矩陣的行列式)。

首先,從矩陣中任意選擇一行或一列,對該行或列中的每個元素,都乘以對應的代數余子式。這些乘積的和就是矩陣的行列式。例如,任意選擇一行,如行i,行列式的計算過程如公式9.4所示:

下面舉乙個例子,重寫3x3矩陣的行列式:

綜上,可匯出4x4矩陣的行列式:

高階行列式計算的複雜性是呈指數遞增的。幸運的是,有一種稱作」主元選擇「的計算方法,它不影響行列式的值,但它能使特定的行或列中除了乙個元素(主元)外其他元素全為0,這樣僅乙個代數余子式需要計算。

行列式的一些重要性質:

(1)矩陣積的行列式等於矩陣行列式的積:|ab| = |a||b|

這可以擴充套件到多個矩陣:  |m1 m2 ... mn| = |m1| |m2| ... |mn-1| |mn|

(2)矩陣轉置的行列式等於原矩陣的行列式:|mt| = |m|

(3)如果矩陣的任意行或列全為0,那麼它的行列式等於0.

(4)交換矩陣的任意兩行或兩列,行列式變負。

(5)任意行或列的非零積加到另一行或列上不會改變行列式的積。

幾何解釋

矩陣的行列式有著非常有趣的幾何解釋。2d中,行列式等於以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積(如圖9.1所示)。有符號面積是指如果平行四邊形相對於原來的方位」翻轉「,那麼面積變負。

3d中,行列式等於以變換後的基向量為三邊的平行六面體的有符號的體積。3d中,如果變換使得平行六面體」有里向外「翻轉,則行列式變負。

行列式與矩陣變換導致的尺寸改變相關,其中行列式的絕對值與面積(2d)、體積(3d)的改變相關,行列式的符號說明了變換矩陣是否包含映象或投影。

矩陣的行列式還能對矩陣所代表的變換進行分類。如果矩陣的行列式為0,那麼該矩陣包含投影。如果矩陣的行列式為負,那麼該矩陣包含映象。

摘自 

3D數學 矩陣的更多知識(1)

矩陣的行列式 在任意方陣中都存在乙個標量,稱作該方陣的行列式。線性運算法則 方陣m的行列式記作 m 或 detm 非方陣矩陣的行列式是未定義的。n x n階矩陣的行列式定義非常複雜,讓我們先從2 x 2,3 x 3矩陣開始。公式9.1給出了2 x 2階矩陣行列式的定義 注意,在書寫行列式時,兩邊用豎...

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