LCS演算法求最長公共子串

一、問題描述

如果字串一的所有字元按其在字串中的順序出現在另外乙個字串二中，

則字串一稱之為字串二的子串。

注意，並不要求子串（字串一）的字元必須連續出現在字串二中。

請編寫乙個函式，輸入兩個字串，求它們的最長公共子串，並列印出最長公共子串。

例如：輸入兩個字串bdcaba和abcbdab，字串bcba和bdab都是是它們的最長公共子串行，則輸出它們的長度4，並列印任意乙個子串行。

二、最長公共子串行的結構

最長公共子串行的結構有如下表示：

設序列x=1, x2, …, xm>和y=1, y2, …, yn>的乙個最長公共子串行z=1, z2, …, zk>，則：

若xm=yn，則zk=xm=yn且zk-1是xm-1和yn-1的最長公共子串行；

若xm≠yn且zk≠xm ，則z是xm-1和y的最長公共子串行；

若xm≠yn且zk≠yn ，則z是x和yn-1的最長公共子串行。

其中xm-1=1, x2, …, xm-1>，yn-1=1, y2, …, yn-1>，zk-1=1, z2, …, zk-1>。

三、子問題的遞迴結構

由最長公共子串行問題的最優子結構性質可知，要找出x=1, x2, …, xm>和y=1, y2, …, yn>的最長公共子串行，可按以下方式遞迴地進行：當xm=yn時，找出xm-1和yn-1的最長公共子串行，然後在其尾部加上xm(=yn)即可得x和y的乙個最長公共子串行。當xm≠yn時，必須解兩個子問題，即找出xm-1和y的乙個最長公共子串行及x和yn-1的乙個最長公共子串行。這兩個公共子串行中較長者即為x和y的乙個最長公共子串行。

由此遞迴結構容易看到最長公共子串行問題具有子問題重疊性質。例如，在計算x和y的最長公共子串行時，可能要計算出x和yn-1及xm-1和y的最長公共子串行。而這兩個子問題都包含乙個公共子問題，即計算xm-1和yn-1的最長公共子串行。

與矩陣連乘積最優計算次序問題類似，我們來建立子問題的最優值的遞迴關係。用c[i,j]記錄序列xi和yj的最長公共子串行的長度。其中xi=1, x2, …, xi>，yj=1, y2, …, yj>。當i=0或j=0時，空序列是xi和yj的最長公共子串行，故c[i,j]=0。其他情況下，由定理可建立遞迴關係如下：

四、演算法實現

#include#include#includeusing namespace std;
enum direction;
void printlcs(int **lcs_direct,char *pstr1,char *pstr2,int row,int col)
cout<1)
} else if(lcs_direct[row][col]==left)
}}int lcs(char *pstr1,char *pstr2)
size_t strlen1 = strlen(pstr1);
size_t strlen2 = strlen(pstr2);
if(strlen1==0||strlen2==0)
//建立並初始化記錄最大長度的矩陣 
int i,j;
int **lcs_length;
lcs_length = (int**)(new int[strlen1+1]);
for(i=0;ilcs_length[i+1][j])
else
} } 
for(i=0;i
動態規劃解決最長公共串問題

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最長公共子串行演算法（LCS）及最長公共子串求法

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