最後幾個題有點難度,在這裡說一下:
永成科技c++筆試題
2013-11-19
1.將1億以內的質數存到乙個超級大的陣列中,用演算法如何實現?
使用"篩法"求解1億以內的質數的程式的思路:
先動態分配1億個bit(總計12500000位元組),用位元組中的每一位代表每乙個整數,首先將代表奇數的那些bit位置1,也就是代表偶數(合數)的位,接著再進一步從這些奇數字中篩掉合數.
篩掉合數的方法是,先從100000000(1億)的開方10000範圍內的質數i(3,5,7,11,13,17,19,23,29)開始,去找它在1億內的奇數倍數i*i,i*i+2i,i*i+4i,...,這裡
沒有i*i+i是因為它可以寫成(i+1)i是2的倍數,已經被過濾掉,將代表這些合數的bit位置0,
那麼最後剩下的bit為1的那些bit,就是代表質數的,統計出它們的個數就可以了.
這樣做的原理是,基於如下的事實:
(1)任意連續的6個數中，就只會測試2個而已,以6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5為例，只需測試6n+1和6n+5, 工作量減少到1/3
(2)判斷乙個數i是否是素數的話,只需要測試2->sqrt(i)之間的質數就可以了
理由如下:
按素數的定義，也就是只有 1 與本身可以整除，所以可以用 2→i-1 去除 i，如果都除不盡，i 就是素數。觀點對，但卻與上一點一樣的笨拙。當 i>2 時，有哪乙個數可以被 i-1 除盡的？沒有！為什麼？如果 i 不是質數，那麼 i=a×b，此地 a 與 b 既不是 i 又不是 1；正因為 a>1，a 至少為 2，因此 b 最多也是 i/2 而已，去除 i 的數用不著是 2→i-1，而用 2→i/2 就可以了。不但如此，因為 i=a×b，a 與 b 不能大於 sqrt(i)，為什麼呢？如果 a>sqrt(i)，b>sqrt(i)，於是 a×b > sqrt(i)*sqrt(i) = i，因此就都不能整除i了。如果i不是質數，它的因子最大就是 sqrt(i)；換言之，用 2→sqrt(i)去檢驗就行了
但是，用 2→sqrt(i) 去檢驗也是浪費。就像前面一樣，2 除不盡，2 的倍數也除不盡；同理，3 除不盡，3 的倍數也除不盡……最理想的方法就是用質數去除i。
如果只檢查 6n+1 和 6n+5 ？不難發現，它們的距離是4、2、4、2……所以，可以先定義乙個變數 gab=4，然後 gab=6-gab;
(3)不能用開方而應該用平方
比較是不能用 sqrt(i)，因為它不精確。舉個例子，i=121，在數學上，sqrt(i) 自然是 11，但計算機裡的結果可能是 10.9999999，於是去除的數就是 2、3、5、7，而不含 11，因此 121 就變成質數了。解決這個問題的方法很簡單，不要用開方，用平方即可。例如，如果 p*p<=i，則就用 p 去除 i。而且它的效率比開方高。
為此需要先將2,3,5,7,11,13這樣的質數先定位到32bit長度的整數內,這個整數的四位元組中的每個位元組是10101010,將這個質數放到32bit中的唯一乙個bit位上面.
最後計算的結果是5761455個素數,而且程式用時9.375秒
下面是乙個老外提供的實現**,但是我們還有比這個更高效的處理:
//platform: ubuntu 12.04.3 64bit
//gcc -std=c99 -g primer_demo.c -o primer_demo
#include #include #include #include int count(unsigned int a) //統計每個整數中的非0位個數,也就是素數的個數（素數沒被篩掉，相對應位為1）
return sum;
}void sieve(unsigned int* p) //篩選法求1億以內素數
{// for(int i=2;i<=10000;i++)
// for (int i=3; i<=10000; i+=2) //只篩選奇數顯然快於原演算法
for(int istep=4,i=3; i < 10000 ;i+=(istep^0x6)) //進一步優化，%6餘1和5時才可能是素數，即只檢查交替相隔2和4的數
{if (p[i/32] & (1<
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