任意多邊形的面積

給定多邊形的頂點座標（有序），讓你來求這個多邊形的面積，你會怎麼做？

我們知道，任意多邊形都可以分割為n個三角形，所以，如果以這為突破點，那麼我們第一步就是把給定的多邊形，分割為數個三角形，分別求面積，最後累加就可以了，把多邊形分割為三角形的方式多種多樣，在這裡，我們按照如下圖的方法分割：

s點作為起始點（點1），a->e依次作為點2,3……。

乙個三角形的面積是怎樣的呢？

根據線性代數的知識，我們有如下的三角形面積公式，稱之為有向面積(signed area)：

將這個行列式以第三列展開可以得到：

這就是以點1、2、3構成的三角形的有向面積（

點如果是順時針給出，有向面積為負，逆時針給出，有向面積為正

），那麼繼續我們的工作，通過三角形的面積公式，來得到多邊形的面積公式：

對於圖1而言，多邊形的面積就是：

s(1->6)=s(1,2,3)+s(1,3,4)+s(1,4,5)+s(1,5,6)

這裡我們不免有些疑問，第一，圖1所給出的是凸多邊形，那這種演算法對於非凸多邊形是否同樣適用呢？比如下面這個最簡單的凸多邊形的圖形：

用剛才的劃分方法的話，就會出現乙個詭異的問題，那就是有乙個三角形出現在了圖形的外面，而另外乙個又超出了多邊形的範圍（劃分為了sab，sbc兩個圖形），那麼這樣再用剛才的公式求面積，結果還是正確的麼？

s(1->4)=s(1,2,3)+s(1,3,4)

先公布結論，這個式子是正確的，等等，為什麼？還記得剛才我提到了那個「有向面積」的概念麼？忘了的話，請回頭看看加重了的字。

請注意從圖中看，sab點為順時針排列，sbc點為逆時針排列，面積從數值上就是從sab這個超過範圍的大三角形中去掉sbc這個小三角形，最後的結果神奇的就是多邊形sabc的面積，那麼這個結論能否推廣到任意多邊形呢？

在這裡不做證明，下面給出的公式，就是任意多邊形的面積公式：