7 數字濾波器的結構

有人可能會很糾結，濾波不就是輸入訊號和一組抽頭係數做卷積麼，濾波器的結構是來幹什麼的？

總體上說，是為了減少抽頭係數和時延器。比如，由於某些特殊要求，可以使得濾波器的抽頭的係數可以有某種對稱性質，（比如線性相位的fir濾波器的係數就是這樣），為了節省乘法單元，就可以使用一些特殊的結構來巧妙地實現原來較多的運算。再比如，對於iir濾波器，可以讓輸入訊號的時延與反饋訊號的時延公用時延器。

先說fir，fir的最大特點在於它可以做成線性相位的。當你需要使用訊號的相位資訊時，這就很關鍵了。fir線性相位濾波器，可以按照，初相（=0或=π），階數（奇數或者偶數）組合成4類。最終的結果是，當濾波器為奇數（或者偶數）階，衝擊響應關於n/2奇對稱（或者偶對稱）。通過觀察它們的頻率特性，可以看到它們的頻率響應會在某些部分為0，因此當濾波器如果在這個頻段上為通帶時，就不能選擇響應的結構。

對於fir濾波器，還有一種特殊的結構，稱為頻率取樣結構。它的特點是由連續的頻譜推出取樣點上的頻率結構，然後反變換出時域係數，最後利用時域係數，求z變換獲取頻率取樣結構。最終是由n個1階iir併聯而成，這個結構的最大問題在於，由於量化誤差，有可能導致濾波器不穩定。

說完了fir，再來說iir。由頻率取樣結構可以看出，iir濾波器有可能不穩定。不僅如此，iir濾波器還會面臨不能作出線性相位的問題，這限制了它的應用，但是iir的好處在於，對於同樣的幅度特性，它的階數要比fir少很多，所以如果不需要考慮相位時，iir也是不錯的選擇。iir的主要型別有直接（i，ii，轉置），併聯、級聯以及格型這麼幾種。其中直接型就是按照系統函式實現的，只不過在公用延遲單元上略有區別。級聯是將系統函式寫成連乘的形式，依次實現每個小的系統函式，併聯是將系統函式寫成部分分式展開的形式，依次實現各個小的系統函式。格型濾波器則是完全由最優濾波器的準則推導出來的結構，跟前3個不是1種門路。

不論是fir還是iir不同的濾波器對於有限字長效應的敏感度是不同的，這裡先不討論這個問題，先討論不同結構之間的轉化。先看**：

clear all;
close all;
clc;
% 直接結構
b = 5*[1 -2.4412 2.4412 -1];
a = [1 -1.7728 1.4464 -0.405];
% 級聯結構
[sos,g] = tf2sos(b,a);
% 併聯結構
[r1,p1,k1] = residue(b,a);
r1 = [r1(1),r1(2)];
p1 = [p1(1),p1(2)];
[b1,a1] = residue(r1,p1,0);
% 格型結構係數
[v,k] = tf2latc(b,a);

1.直接-》級聯的時候，sos是二階子系統矩陣它是乙個n*6的矩陣，其中每1行代表了1個二階子系統的b0,b1,b2,a0(恆等於1),a1,a2的係數。至於為什麼要搞2階子系統，是因為很多時候，寫成連乘以後，濾波器的係數就成了複數，這無疑增大了運算量，所以，通過將復係數合併為2階的實係數，可以避免這個麻煩。

2.直接-》併聯時，residue實際上是求部分分式展開的。但是如果反過來用，就是將站來的部分分式合併為多項式相除的樣子。通過[r1,p1,k1] = residue(b,a);，發現r1,r2,p1,p2都是複數，所以將它們合併成1個二階子系統。

3.對於格型結構，沒啥花樣，但是要注意的是a的係數必須用a(1)歸一化。

至於有限字長效應對於不同濾波器結構的影響，下次再討論吧。

7 數字濾波器的結構

數字濾波器

數字濾波器

數字濾波器介紹

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