顯然前面的fourier 變換與laplace 變換的東西還沒講完，這些天實在是忙，忙著給實驗室搭工具機，又接了研發群裡的活，加上時不時自己一放鬆，懶散的很，沒有看書，肚子裡沒什麼貨，寫不出來。今天打算寫的卷積意義，也是去年猛補數學的一點心得體會，希望能有點幫助。
這些積分變換概念源自於《訊號與系統》這門課程中的內容。而卷積則將是訊號與系統這兩種事物結合起來的橋梁，清楚了揭示了二者之間的關係。
我們的原則依然是找來公式分析公式，所以先上公式：
積分本質與無窮項求和是一樣的，而我們對無窮項求和的概念更為直觀，所以看這個：
是無數個乘積的求和，沒問題，問題焦點在於怎樣的乙個乘積，如下
這個乘積其實有點詭異，卷積作為兩種函式的一種「積」，兩個函式相乘並不奇怪，可是為什麼乙個自變數為m，另乙個為n-m呢？
注意到這兩個自變數的和是n，正是卷積之後的函式的自變數n。正是這個詭異的地方，才有了卷積存在的意義。
眾所周知，訊號是乙個隨時間變化的物理量，是個易於理解的概念，記作f(t)
而對於系統呢，是乙個獲得輸入訊號，再對外輸出另乙個訊號的裝置，直觀但是很難體察入微，所以大家對它理解不到位很正常。但是如果將其具體化一下，就不難理解了。
給系統這個裝置0時刻乙個輸入訊號（激勵），系統應該會有乙個輸出訊號（這種現象叫響應）。將其具體化、量化之後，表述為：系統受到單位衝激函式（是個瞬間訊號）作用之後過了時間τ對外輸出的訊號為
這裡單位衝激函式是個新概念，不必在意，下面會解釋。接下來是重點了，大家可能要費點勁了。
對乙個系統，在0~t時間段內，一直給系統以訊號f(t)作為輸入來激勵它。更加確切的描述為：t時刻給系統以訊號f來激勵它，這個輸入訊號是變化的，是時間t的函式。而系統的響應函式為
問題是t時刻，系統對外輸出的訊號幅值是多少？
注意！！！0~t時間段內每時每刻
的輸入訊號都會在t時刻都有響應。前文已經提到，輸入訊號雖然是轉瞬即逝，而產生的響應幾乎是永生不滅的。
將0~t時間段等分成n份，每份為dt，當n趨於無窮時，dt足夠小，小到我們所說的瞬間。
下面是見證奇蹟的時刻了。
0時刻產生的輸入訊號幅值為f(0)，到了t時刻，經歷了時間t（沒問題吧），此時它的響應函式應該為g(t);
1 dt時刻產生的輸入訊號幅值為f(dt)，到了t時刻，經歷了時間t-dt（沒問題吧），此時它的響應函式應該為g(t-dt);
2 dt時刻產生的輸入訊號幅值為f(2dt)，到了t時刻，經歷了時間t-2dt，此時它的響應函式應該為g(t-2 dt);……
m dt時刻產生的輸入訊號幅值為f(mdt)，到了t時刻，經歷了時間t-mdt，此時它的響應函式應該為g(t-m dt); ……
n dt時刻（即t時刻）產生的輸入訊號幅值為f(t)，到了t時刻，經歷了時間0，此時它的響應函式應該為g(0);
omg,大家是不是發現了輸入訊號f(t)的自變數與對應的響應函式
至於兩個函式乘積的意義。這裡必須要解釋單位衝激函式訊號了，定義如下：
（要求不喜歡它，換成離散形式，很短的時間內（就是所說的dt啦）內訊號來不及變化，認為是恆定的，記幅值為,那麼有與dt的乘積為1.即dt=1.ε足夠小
）
考慮到對於系統定義的響應函式對應的是激勵訊號為單位衝激函式訊號，在dt時間內幅值為，因此上面提到的輸入訊號幅值為f（m dt）應該換算一下，除以。所以f（m dt）幅值是標準訊號（單位衝激函式）的f(m dt)/倍，那麼t時刻產生的輸出訊號為f(m dt)/*g(t-m dt)，考慮到時間間隔dt（dt這段時間內可是一直產生f（m dt）的訊號啊），輸出訊號為f(m dt)/*g(t-m dt)*dt = f(m dt)*g(t-m dt)。
每時每刻的訊號激勵響應最終在t時刻匯聚成一股力量，就是求和了
（我要正式敲乙個公式了）
至此，詮釋完了卷積公式本身的意義。
再換一種通俗的**，也是我那天和室友說的**，輸入訊號好比你一直不停在吃的食物，是乙個時間t的函式，而你消化的能力也是乙個隨時間變化的函式。某時刻吃下的食物不會瞬間被消化完，而是乙個逐漸減少的過程，顯然吃的越晚的食物消化的時間越短，你吃的時刻為t，消化用的時間就為t-t。到了t時刻的時候，之前所有的食物的殘留才是你肚子上的食物。如果你的消化能力是以一斤食物為標準的話，你吃的食物必然也要這麼換算一下。
由於這兩個函式的變數總和為定值，導致交換後依然為定值，如果再加上積分（求和）上下限不變的話，自然有
這是卷積乙個美妙的性質。
其餘的性質不多說，數學的上推導也許有一種很直觀的形式，比如上述的卷積的交換性質。
我們非得順著時間的流逝緊盯著吃飯來說事麼？如果我們以t為零點倒流緊盯著消化來看，就應該有t時刻的消化能力g(t)，而是進的食物卻為f(t-t)，一切都那麼順理成章了
還有一點，單位衝激函式訊號作為激勵訊號的系統的輸出訊號作為描述系統響應特性，實在是太合適不過了
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