演算法與數學
網路流－最大流問題 isap 演算法解釋
內容提要 [隱藏]
1 約定
2 引入
3 演算法解釋
4 實現
isap 是圖論求最大流的演算法之一，它很好的平衡了執行時間和程式複雜度之間的關係，因此非常常用。
約定我們使用鄰接表來表示圖，表示方法可以見文章帶權最短路 dijkstra, spfa, bellman-ford, asp, floyd-warshall 演算法分析或二分圖的最大匹配、完美匹配和匈牙利演算法的開頭（就不重複貼**了）。在下文中，圖的源點（source）表示為 s ，匯點（sink）表示為 t ，當前節點為 u 。建圖時，需要建立雙向邊（設反向的邊容量為0）才能保證演算法正確。
引入求解最大流問題的乙個比較容易想到的方法就是，每次在殘量網路（residual network）中任意尋找一條從 s 到 t 的路徑，然後增廣，直到不存在這樣的路徑為止。這就是一般增廣路演算法（labeling algorithm）。可以證明這種不加改進的貪婪演算法是正確的。假設最大流是 f ，那麼它的執行時間為 o( f⋅∣e∣) 。但是，這個執行時間並不好，因為它和最大流 f 有關。
人們發現，如果每次都沿著殘量網路中的最短增廣路增廣，則執行時間可以減為 o(∣e∣2⋅∣v∣) 。這就是最短增廣路演算法。而 isap 演算法則是最短增廣路演算法的乙個改進。其實，isap 的意思正是「改進的最短增廣路」 (improved shortest augmenting path)。
順便說一句，上面討論的所有演算法根本上都屬於增廣路方法（ford-fulkerson method）。和它對應的就是大名鼎鼎的預流推進方法（preflow-push method）。其中最高標號預流推進演算法（highest-label preflow-push algorithm）的複雜度可以達到 o(∣v∣2∣e∣−−−√) 。雖然在複雜度上比增廣路方法進步很多，但是預流推進演算法複雜度的上界是比較緊的，因此有時差距並不會很大。
演算法解釋
概括地說，isap 演算法就是不停地找最短增廣路，找到之後增廣；如果遇到死路就 retreat，直到發現 s, t 不連通，演算法結束。找最短路本質上就是無權最短路徑問題，因此採用 bfs 的思想。具體來說，使用乙個陣列 d ，記錄每個節點到匯點 t 的最短距離。搜尋的時候，只沿著滿足 d[u]=d[v]+1 的邊 u→v （這樣的邊稱為允許弧）走。顯然，這樣走出來的一定是最短路。
原圖存在兩種子圖，乙個是殘量網路，乙個是允許弧組成的圖。殘量網路保證可增廣，允許弧保證最短路（時間界較優）。所以，在尋找增廣路的過程中，一直是在殘量網路中沿著允許弧尋找。因此，允許弧應該是屬於殘量網路的，而非原圖的。換句話說，我們沿著允許弧，走的是殘量網路（而非原圖）中的最短路徑。當我們找到沿著殘量網路找到一條增廣路，增廣後，殘量網路肯定會變化（至少少了一條邊），因此決定允許弧的 d 陣列要進行相應的更新（順便提一句，dinic 的做法就是每次增廣都重新計算 d 陣列）。然而，isap 「改進」的地方之一就是，其實沒有必要馬上更新 d 陣列。這是因為，去掉一條邊只可能令路徑變得更長，而如果增廣之前的殘量網路存在另一條最短路，並且在增廣後的殘量網路中仍存在，那麼這條路徑毫無疑問是最短的。所以，isap 的做法是繼續增廣，直到遇到死路，才執行 retreat 操作。
講到這裡，isap 演算法的框架內容就講完了。對於**本身，還有幾個優化和實現的技巧需要說明。
演算法執行之前需要用 bfs 初始化 d 陣列，方法是從 t 到 s 逆向進行。
演算法主體需要維護乙個「當前節點」 u ，執行這個節點的前進、retreat 等操作。
記錄路徑的方法非常簡單，宣告乙個陣列 p ，令 p[i] 等於增廣路上到達節點 i 的邊的序號（這樣就可以找到從哪個頂點到的頂點 i ）。需要路徑的時候反向追蹤一下就可以了。
判斷殘量網路中 s, t 不連通的條件，就是 d[s]≥∣v∣ 。這是因為當 s, t 不連通時，最終殘量網路中 s 將沒有任何鄰接點，對 s 的 retreat 將導致上面條件的成立。
gap 優化。gap 優化可以提前結束程式，很多時候提速非常明顯（高達 100 倍以上）。gap 優化是說，進入 retreat 環節後， u, t 之間的連通性消失，但如果 u 是最後乙個和 t 距離 d[u] （更新前）的點，說明此時 s, t 也不連通了。這是因為，雖然 u, t 已經不連通，但畢竟我們走的是最短路，其他點此時到 t 的距離一定大於 d[u] （更新前），因此其他點要到 t ，必然要經過乙個和 t 距離為 d[u] （更新前）的點。gap 優化的實現非常簡單，用乙個陣列記錄並在適當的時候判斷、跳出迴圈就可以了。
另乙個優化，就是用乙個陣列儲存乙個點已經嘗試過了哪個鄰接邊。尋找增廣的過程實際上類似於乙個 bfs 過程，因此之前處理過的鄰接邊是不需要重新處理的（殘量網路中的邊只會越來越少）。具體實現方法直接看**就可以，非常容易理解。需要注意的一點是，下次應該從上次處理到的鄰接邊繼續處理，而非從上次處理到的鄰接邊的下一條開始。
最後說一下增廣過程。增廣過程非常簡單，尋找增廣路成功（當前節點處理到 t ）後，沿著你記錄的路徑走一遍，記錄一路上的最小殘量，然後從 s 到 t 更新流量即可
int source; // 源點
int sink; // 匯點
int p[max_nodes]; // 可增廣路上的上一條弧的編號
int num[max_nodes]; // 和 t 的最短距離等於 i 的節點數量
int cur[max_nodes]; // 當前弧下標
int d[max_nodes]; // 殘量網路中節點 i 到匯點 t 的最短距離
bool visited[max_nodes];
// 預處理, 反向 bfs 構造 d 陣列
bool bfs()}}
return visited[source];
}// 增廣
int augment()
u = sink;
// 從匯點到源點更新流量
while (u != source)
return df;
}int max_flow()
bool advanced = false;
for (int i = cur[u]; i < g[u].size(); i++)
}if (!advanced)
}return flow;
}
網路流 最大流問題 ISAP 演算法解釋
august 7,2013 程式設計指南 isap 是圖論求最大流的演算法之一，它很好的平衡了執行時間和程式複雜度之間的關係，因此非常常用。我們使用鄰接表來表示圖，表示方法可以見文章帶權最短路 dijkstra,spfa,bellman ford,asp,floyd warshall 演算法分析或二...
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poj 3469 isap演算法求最大流
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