最長公共子串行問題(lcs)
【問題】求兩字串行的最長公共字元子串行
問題描述：字串行的子串行是指從給定字串行中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能乙個也不去掉）後所形成的字串行。令給定的字串行x=
「x0，x1
，…，xm-1」，序列y=
「y0，y1
，…，yk-1」是x
的子串行，存在x
的乙個嚴格遞增下標序列，i1
，…，ik-1>
，使得對所有的j=0
，1，…，k-1
，有xij=yj
。例如，x=
「abcbdab
」，y=
「bcdb
」是x的乙個子串行。
思路：
考慮最長公共子串行問題如何分解成子問題，設a=
「a0，a1
，…，am-1」，b=
「b0，b1
，…，bm-1」，並z=
「z0，z1
，…，zk-1」為它們的最長公共子串行。不難證明有以下性質：（1）
如果am-1=bn-1
，則zk-1=am-1=bn-1
，且「z0
，z1，…，zk-2」是「a0
，a1，…，am-2」和「b0
，b1，…，bn-2」的乙個最長公共子串行；（2）
如果am-1!=bn-1
，則若zk-1!=am-1
，蘊涵「z0
，z1，…，zk-1」是「a0
，a1，…，am-2」和「b0
，b1，…，bn-1」的乙個最長公共子串行；（3）
如果am-1!=bn-1
，則若zk-1!=bn-1
，蘊涵「z0
，z1，…，zk-1」是「a0
，a1，…，am-1」和「b0
，b1，…，bn-2」的乙個最長公共子串行。
這樣，在找a
和b的公共子串行時，如有am-1=bn-1
，則進一步解決乙個子問題，找「a0
，a1，…，am-2」和「b0
，b1，…，bm-2」的乙個最長公共子串行；如果am-1!=bn-1
，則要解決兩個子問題，找出「a0
，a1，…，am-2」和「b0
，b1，…，bn-1」的乙個最長公共子串行和找出「a0
，a1，…，am-1」和「b0
，b1，…，bn-2」的乙個最長公共子串行，再取兩者中較長者作為a
和b的最長公共子串行。
求解：
引進乙個二維陣列c，用c[i][j]記錄x[i]與y[j] 的lcs 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪乙個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據x[i] = y[j]還是x[i] != y[j]，就可以計算出c[i][j]。
問題的遞迴式寫成：
回溯輸出最長公共子串行過程：
演算法分析：
由於每次呼叫至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多呼叫(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞迴呼叫時方向相反，步數相同，故演算法時間複雜度為θ(m + n)。
#include #include using namespace std;
int max(int a,int b)
int main()};
int i = 0;
int j = 0;
for(i = 1; i <= x_len; i++)
else}}
for(i = 0 ; i <= x_len; i++)
cout << endl;
}for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;)
else
else}}
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}
附遞迴寫法**：
/*
題目描述：遞迴方法求最長公共子串行的長度
採用技術：1)設有字串a[0...n]，b[0...m]，下面就是遞推公式。
當陣列a和b對應位置字元相同時，則直接求解下乙個位置；
當不同時取兩種情況中的較大數值。
用遞迴的方法優點是程式設計簡單，容易理解。缺點是效率不高，
有大量的重複執行遞迴呼叫，而且只能求出最大公共子串行的長度，
求不出具體的最大公共子串行。
開發者：geefine
開發日期：20140320 */
#include#includechar a[30],b[30];
int lena,lenb;
int lcs(int,int);///兩個引數分別表示陣列a的下標和陣列b的下標
int main()
int lcs(int i,int j)
/*
題目描述：動態規劃求最長公共子串行的長度
採用技術：動態規劃採用二維陣列來標識中間計算結果，避免重複的計算來提高效率。
最長公共子串行的長度的動態規劃方程
設有字串a[0...n]，b[0...m]，下面就是遞推公式。字串a對應的是二維陣列num的行，
字串b對應的是二維陣列num的列。
另外，採用二維陣列flag來記錄下標i和j的走向。
數字"1"表示，斜向下；數字"2"表示，水平向右；數字"3"表示，豎直向下。
這樣便於以後的求解最長公共子串行。
開發者：geefine
開發日期：20140320 */
#include#includechar a[500],b[500];
char num[501][501]; ///記錄中間結果的陣列
char flag[501][501]; ///標記陣列，用於標識下標的走向，構造出公共子串行
void lcs(); ///動態規劃求解
void getlcs(); ///採用倒推方式求最長公共子串行
int main()
void lcs()
else if(num[i][j-1]>num[i-1][j])
else}}
}void getlcs()
else if(flag[i][j]==2) ///如果是斜向右標記
j--;
else if(flag[i][j]==3) ///如果是斜向下標記
i--;
}for(i=k-1;i>=0;i--)
printf("%c",res[i]);
}
最長公共子串（
longest common substirng
）和最長公共子串行（
longest common subsequence
，lcs
）的區別為：子串是串的乙個連續的部分，子串行則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而獲得新的序列；
也就是說，
子串中字元的位置必須是連續的，子串行則可以不必連續。
子串行(subsequence)
的概念不同於串的子串。它是乙個不一定連續但按順序取自字串
x中的字串行。
n例如：串
"aaag"
就是串「
cgataattgaga」
的乙個子串行。
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最長公共子串行問題LCS
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