階乘的筆試題

（1）n!末尾有多少個0？

這道題可以參考《程式設計之美》2.2節「不要被階乘嚇倒」。

用數學語言描述解法對我來說，太艱難了。我這裡只是舉例子（n=100）加以說明。

方法一：在1~100中，5*2=10, 10*1=10, 15*2=30, 20*1=20, 25*4=100,...100*1=100

這裡注意到，只要是能夠被5整除的數，都會在末尾產生0，其中25和100（其實還有50,75）會在末尾產生2個0。因此，能夠被25（5*5）整除的數會在末尾產生2個0，同理，能夠被125（5*5*5）整除的數會在末尾產生3個0，能夠被5^x整除的數會在末尾產生x個0.

因此方法一的演算法如下：

在1~100中，對於每個能夠被5整除的數（初始值為5，步進為5的所有數都能夠被5整除，至於其他數，因為不能被5整除，所以能在末尾產生0的個數為0，也就不需要考慮），考察能夠被5整除多少次，如75，75/5=15, 15/5=3, 3/5=0, 所以75能夠被5整除2次。

將被5整除的次數加起來就是末尾0的個數。

方法二：100/5=20，也就是1~100中能被5整除的個數有20個，20/5=4，也就是1~100中能被25（5^2）整除的個數有4個，4/5=0，也就是1~100中能夠被125（5^3）整除的個數為0個。20+4+0=24個，所以100！的末尾有24個0.

**如下：

#includeint zero_count1(int n)
} return count;
}int zero_count2(int n)
return count;
}void main()
}

（2）n!有多少位數？

方法一：

若10^x<=n!<=10^(x+1)，

那麼n!=k*10^(x)，1對式子取常用對數（以10為底的對數），得到：x<=lg(n!)<=(x+1)

lg(n!)=lg1+lg2+lg3+...+lg(n)=x+lg(k)，因為1

**如下：

#include#includeint count_wei(int n)
return((int)(x)+1);
}void main()
}

方法二：

斯特林公式如下：

同樣，取對數，可得：lg(n!)約等於1/2*lg(2*pi)+1/2*lg(n)+n*(lg(n)-lg(e))，這個結論可以用來估算

如n=100時，因為10>2*pi，所以1/2*lg(2*pi)<1/2*lg10=0.5，e