貪心演算法工廠訂單問題

學校的演算法作業，感覺題還不錯就寫一下了 by hit_李·家蜂皇漿

題目：某工廠收到n 個訂單(ai,bi),其中ai 和bi 均是正整數(1<=i<=n), 訂單(ai,bi)希望在時間bi 之前獲得ai 件產品。工廠的生產能力為每個時間單位生產1 件產品。

工廠希望拒絕最少數量的訂單，並恰當地排序剩下的訂單使得剩下的訂單均能夠被滿足。試設計乙個貪心演算法求解上述問題。

解：貪心思想：初始排除區間為e，將所有訂單在區間e的時間不能生產的情況下，每個訂單最晚開始時間排序，每次選擇最晚開始時間最大的訂單，並將該訂單在排除區間e後所需要的最晚加工時間段加入排除區間e。

貪心選擇性：將所有訂單在區間e的時間不能生產的情況下，每個訂單最晚開始時間排序，設任務pi是最晚開始時間最大的任務，那麼必有乙個優化解包含任務pi。

證明：設訂單集合為(p1,p2,……,pn)，排除區間為e。s是該訂單問題的優化解。

若s包含任務pi，得證。

引理1：s是該訂單問題的優化解。設s中的訂單中最晚結束時間（即bi）最大的任務為s1(ai,bi)。則可以讓工廠在時間段

（bi -ai，bi）中生產這個訂單的產品，使得其它訂單可正常完成。

否則，設時間分配方案為t，該任務生產區間為ti，則ti中的所有生產時間都在bi前，否則無法完成任務s1。此時，可將ti中的與

（bi -ai，bi）中的任務進行調換，則原本在（bi -ai，bi）時間內完成的任務工作時間提前了，並不影響生產。

若s不包含任務pi(ai,bi)，

設s中的訂單中最晚結束時間（即b）最大的任務為s1(aj,bj)。則可以讓工廠在時間段（bj–aj，

bj）中生產這個訂單的產品，使得其它訂單可正常完成。則由於pi的選取規則，必有bj-aj

< bi- ai，所以可以用任務pi替換任務s1，使得任務pi在時間段(bi-ai,bi)內完成，該任務與其他任務沒有衝突，則新生成的任務集s』也是該問題的優化解

優化子結構：將所有訂單在區間e的時間不能生產的情況下，訂單問題的優化解是s，此時，s中的訂單最晚開始時間的任務是s1，此時任務s1的生產區間為t（t可能不連續，因為e可能不連續），令e』=e+t，則s-s1是餘下訂單中，任務區間e』不能生產的情況下，任務選擇的優化解。

task(s)

typedefstruct job//記錄任務最晚開始時間及在此時的任務生產時間段

e=null;job*s』;result;

fori=1 to length(s) do

s』[i]=resetjob(e,s[i]);//resetjob(e,s)排除區間e後任務s最晚開始時間及生產區間

while(s』!=null)

s=findmaxstart(s』);

result+=s; e+=s.interregion; s』-=s;//重設e，將s從s』中剔除

n=length(s』)

fori=1 to n do

s』[i]=resetjob(e,s』[i]);

forl in s』 do

ifl.start <0 then

s』-=s;

returnresult;

也可以用遞迴來完成

task2(s,e)

resetjob(e,s[i]);//resetjob(e,s)排除區間e後任務s最晚開始時間及生產區間，並進行排序，將最晚開始時間小於0的訂單都剔除

print(s[1])；e+=s[i].interregion; 從s中刪除s[1]；

task2(s,e)

貪心演算法 工廠訂單問題