從n個數中提取最小的m個數的演算法

2021-06-26 17:48:54 字數 3772 閱讀 4973

從n個數中提取最小的m個數的演算法

2007-02-10 23:58:45

分類：

經常在網上看到有人討論這個問題：

如何高效地從n個數中提取最小的m個數？

或者是其他類似的問題，今天我也簡單地分析一下。

具體問題具體分析，既然這個題目只要求我們找出這m個數，沒有要求對其進行排序，所以負擔也就輕了，相應地也能採用更高效的資料結構和演算法。如果不要求空間複雜度，並且m不大，我們可以開闢另外乙個空間（s）儲存這m個數，一般的時候空間複雜度要求都是較低的，所以我們也可以這樣假設。n個數中的前m個數我們可以直接放在空間s中，當取第m + 1個數的時候，我們就要考慮這個數是否要加入到空間s中，如果加入，應該遵循乙個什麼樣的替換規則。我們需要找出的是最小的m個數，所以這m個數中最大的數m就是基準，如果後續的數比m大，那麼就不應該加入空間，如果比m小，就要加入空間。當新數n需要加入空間時，被擠掉的數肯定是先前最大的數m，那麼新數應該放在哪個位置呢？複雜度集中在如何找出最大的數m和如何插入新數n。其實，這兩個問題是相關的，焦點就積聚在搜尋最大資料和插入新資料的操作上。也許大家已經想到了，最大堆不就正適合此種情況嗎？其最大數就是根元素，查詢的時間複雜度為o(1)，新資料的插入時間複雜度為o(log(n))，已經為理論上的最優解。

c++的程式原始碼：

#include

<

iostream

>

#include

#include

#include

<

vector

>

using

namespace

std;

int main(

int argc,

char

*argv)

cout

<

<

endl

;for

(int i = 0; i < n; i ++)

if(t >

= val[0]

)continue

;pop_heap

(val.begin(

), val.end())

;val[m - 1]

= t;

push_heap

(val.begin(

), val.end())

;}cout

<

<

"top "

<

< m <

<

":"<

<

endl

;for

(int i = 0; i < m; i ++)

cout

<

< val[i]

<

<

" ";

cout

<

<

endl

;sort_heap

(val2.begin(

), val2.end())

;cout

<

<

"sorted top "

<

< m <

<

":"<

<

endl

;for

(int i = 0; i < m; i ++)

cout

<

< val2[i]

<

<

" ";

cout

<

<

endl

;return 0;

}

**很簡單，如果你足夠細心你會發現這個演算法的實際時間複雜度為:

n * 2 * log ( m )

為什麼多了係數2呢？因為pop_heap和push_heap的時間複雜度都為log(m)，且每次空間s的更新操作都需要做這兩步。再次考察這兩個操作，如果你熟悉heap，就會發現pop_heap和push_heap兩步可以合併成一步，請看pop_heap的主要步驟:

將根元素取下來。

將末尾的元素取下來。

從根開始搜尋將第2步取下的元素插入到堆中的適當位置。

因為我們在pop之後馬上就需要再次push，所以兩步可以合併為：

將根元素去下來。

從根開始搜尋將要push的元素插入到堆中的適當位置。

具體**請看客自己實現吧，不要太懶了，懶惰可不是什麼好毛病！

另外，c++的stl也有相關演算法模板:

template

<

class randomaccessiterator>

void

nth_element

(randomaccessiterator first, randomaccessiterator nth,

randomaccessiterator last)

;template

<

class randomaccessiterator,

class strictweakordering>

void

nth_element

(randomaccessiterator first, randomaccessiterator nth,

randomaccessiterator last, strictweakordering comp)

;

用其改寫的上述**簡單了很多:

#

include

#include

<

iostream

>

#include

#include

#include

<

vector

>

using

namespace

std;

int main(

int argc,

char

*argv)

cout

<

<

endl

;nth_element

(val.begin(

), val.begin(

)+ m - 1, val.end())

;cout

<

<

"top "

<

< m <

<

":"<

<

endl

;for

(int i = 0; i < m; i ++)

cout

<

< val[i]

<

<

" ";

cout

<

<

endl

;sort

(val2.begin(

), val2.end())

;cout

<

<

"sorted top "

<

< m <

<

":"<

<

endl

;for

(int i = 0; i < m; i ++)

cout

<

< val2[i]

<

<

" ";

cout

<

<

endl

;return 0;

}

以上**也算是nth_element應用的乙個範例吧，至於它的具體實現，如果感興趣還是自己分析，目前我也沒有詳細看。

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