傅利葉級數與傅利葉變換(李德玉老師的生物醫學數學課收穫)
級數的存在的意義在於將乙個複雜的函式用很多簡單的函式(基函式)加權求和，比如泰勒級數使用x-x0的n次方的加權和，傅利葉級數是用三角函式或說正弦函式的加權和表示。
級數都是無限項的求和，將乙個函式展開成對應的級數的充要條件就是該級數能夠收斂於這個函式，否則展開是沒有意義的。對於傅利葉級數來說，被展開的函式要求是週期函式，在乙個週期中有有限個極值點，有有限個第一類間斷點，這是該函式能被展開成傅利葉級數的充要條件。
說到傅利葉級數，他的基函式是正余弦函式，正余弦函式具有正交性的特點，任意兩個函式的組合在乙個週期上的積分為0(具體可以參照正交系的概念)。sin(nx)和cos(nx)可以組成乙個n維空間，就是因為他們具有正交性，傅利葉展開也就是將乙個函式分解到這個正交空間中，當然基函式不同，正交空間也不同，我們平常最經常用到的是三維的正交空間(x,y,z)。
傅利葉級數的進一步拓展就出現了非週期函式的傅利葉變換，傅利葉級數中的權值就是用積分表示的，可以稱為頻譜，而到了非週期函式的傅利葉變換，我們稱其為頻譜密度函式，因為當週期趨向於無窮大，近似為非週期函式時，
原來週期函式中的△ω=2π/t就趨向於無窮小，因此各個頻率分量的頻率會無限接近，變成連續的，同時個頻率分量的幅度也趨向於無窮小，但是這些無窮小之間是有差別的，所以通過將幅度除以乙個無窮小量變成頻譜密度，來表示這些不同頻率分量。
福利葉變換有個不足之處：只能表示出整個函式的頻譜，而不能得到某一時刻的頻譜，也就是說，傅利葉變換之後的頻譜中不含有時間t，只與頻率w有關，所以在時域我們只能看到時間域的資訊，而頻域只能看到頻率域的資訊，無法結合看。這也就推進了之後的小波變換的出現，可以同時看到時間域和頻率域的資訊。
傅利葉變換和逆變換兩者中的積分部分之前要有個係數，假設為a和b，只要a和b滿足乘積為(2*π)分之一即可，通常讓傅利葉變換前面的係數為1，逆變換前面的係數為(2*π)分之一，以後不必糾結到底是正變換還是逆變換前面需要乙個係數。
單位衝激函式在ad取樣中的應用，因為單位衝激函式在實際中是不存在的，因此實際中採用矩形取樣或者其他的。
乙個訊號時域和頻域的大概對應關係：時域越窄，頻域的主瓣越寬；實際應用中，例如網路傳輸中寬頻的概念，為什麼成為寬頻，因為它的頻帶款，頻帶寬的好處就在於時域對應的訊號窄，傳送乙個訊號時域窄也就代表著相同的時間能傳遞更多的訊號，因此寬頻的傳輸能力是更強的。
傅利葉變換的充分條件：狄里赫利條件
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