機器學習基礎 VC維與模型複雜度 樣本複雜度

2021-06-27 17:25:00 字數 1372 閱讀 2865

上一小節,我們引入了vc維的概念,用它來描述假設集合的表達能力。這一小節中,我們將從vc維的物理意義出發,進一步學習如何根據vc維傳達的資訊來選擇模型和假設集合。

如果我們將假設集合的數量|h|比作假設集合的自由度,那麼vc維就是假設集合在做二元分類的有效的自由度,即這個假設空間能夠產生多少dichotomies的能力(vc維說的是,到什麼時候,假設集合還能shatter,還能產生最多的dichotomies)。

在上一節中,我們討論要做到好的**要滿足兩個條件,第一是訓練誤差要接近真實誤差,即ein(g)約等於eout(g);第二是訓練誤差要盡量接近0,即ein(g)約等於0。

現在,我們用vc維這個工具來描述。

這時,vc維變成了我們乙個重要的選擇,我們可以用vc維提供的資訊來選擇更好的模型和假設空間。

我們可以根據vc bound公式,設發生壞事情的概率是δ,將其恒等變換可以得到訓練誤差和測試誤差的差別ε。所以反過來講,好事情(訓練誤差和測試誤差的差別小於ε)發生時,eout(g)被限制在乙個範圍內。這裡根號內的式子定義為ω(n,η,δ),稱作模型複雜度,這個引數描述的意義是,我們的假設空間h有多麼的強,使得我們的演算法在泛化能力上需要付出多少代價。通俗的來講,假設空間的容量越大,vc維越大,那麼模型就越難學習。

model_complexity

如下圖所示,我們可以看出隨vc維變化,ein、eout、模型複雜度都是如何變化的。

這裡乙個很直接的資訊就是模型複雜度隨著vc維的變大不斷變大,呈正相關趨勢。

因為vc維變大時,資料中可以shatter的點就變多了,那麼假設空間的容量就變大了,如果是乙個合理的學習演算法的話,就有機會找到乙個更好的假設,使得ein更小。

而eout呢?在一開始的時候,eout隨著ein的下降也下降,但是到某個點,因為我們要付出的代價變大了,eout開始上公升,所以最好的eout是在中間的某個位置。

這裡得到乙個重要的結論,vc維越大或者假設空間能力越強大,雖然可以使得訓練誤差很小,但不見得是最好的選擇,因為要為模型複雜度付出代價。

vc_message

根據理論而言,樣本複雜度大約是vc維的10000倍,而實際應用中,只需要vc維的10倍的量就夠了。

我們這裡介紹的vc bound的條件是非常寬鬆的,這使得在樣本複雜度的估計上可以和理論值相差很大,原因如下:

以上有關vc bound傳遞的哲學資訊可以很好的指導我們進行機器學習演算法的實踐。

最後總結一句話,如果我們假設集合的vc維是有限的,並且有足夠多的資料,我們的演算法又可以找到乙個假設使得訓練錯誤率很低的話,我們就可以學習到有效的模型或知識。

機器學習基石課程,林軒田,台灣大學

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