俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎?

2021-06-29 15:46:07 字數 3209 閱讀 7039

大家在玩俄羅斯方塊的時候有沒有想過這樣乙個問題:如果玩家足夠牛b的話,是不是永遠也不可能玩死?換句話說,假設你是萬惡的遊戲機,你打算害死你 面前的玩家;你知道任意時刻遊戲的狀態,並可以有針對性地給出一些明顯不合適的方塊,盡量迫使玩家面對最壞情況。那麼,你有沒有一種演算法能保證害死玩家, 或者玩家無論如何都存在一種必勝策略呢?注意,俄羅斯方塊的遊戲區域是乙個寬為10,高為20的矩形,並且玩家可以預先看到下乙個給出的方塊是什麼。在設 計策略時,你必需考慮到這一點。

相信很多人有過這樣的經歷:玩俄羅斯方塊時一開局就給你乙個「s」型方塊,讓完美主義者感到異常彆扭;結果,第二個方塊還是這個「s」,第 三個方塊依舊是「s」,相當令人崩潰。於是,我們開始猜測,如果遊戲機給你無窮個「s」形方塊,玩家是不是就沒有解了?答案是否定的。如圖1,從第10步 開始,整個局面產生乙個迴圈;只要機器給的一直都是「s」方塊,玩家可以不斷重複這幾個步驟,保證永遠也死不了。

不過,這個迴圈是在遊戲場地清空了的情況下才產生的。有人會進一步想了,要是在玩著玩著,看著你局勢不好時突然給你無窮多個「s」方塊呢?事實上,此時局面的迴圈依然可能存在,如圖2。在第5個「s」形方塊落地後,迴圈再次產生。

俄羅斯方塊真的不可能玩死嗎?2023年,john brzustowski的一篇** 指 出,俄羅斯方塊遊戲無解並非不可能。它給出了一種演算法可以保證遊戲機能夠害死玩家,即使我們要求它必須提前向玩家展示出下乙個方塊的形狀。構造的關鍵在 於,整個遊戲的局面個數是有限的(2的200次方),如果玩家一直不死,在某一時刻必然會重複某一狀態。我們把兩次重複狀態及其之間的遊戲過程叫做乙個「 迴圈」,這個迴圈實際影響到的那些行就叫做「實際迴圈區」。例如,圖2就是乙個迴圈,這個迴圈的「實際迴圈區」是從第4行到第7行這四行。

我們把寬為10的遊戲區域劃分為5個寬為2的「通道」,從左至右用1到5標號。注意到圖1和圖2中的兩個迴圈都有乙個共同點:每個「s」形 方塊最終都完全落在某個通道內。事實上,對於任意乙個只有「s」形方塊的迴圈,我們都有這個結論。也就是說,如果遊戲機一直給你「s」形的方塊,你卻用它 們弄出了乙個迴圈,那只有一種可能:所有「s」形方塊的下落位置都沒有跨越通道(就像圖3中的紫色方塊那樣,而非綠色方塊那樣)。

為了證明這一點,我們對通道編號施歸納。令命題p(x)表示,如果某個「s」形方塊(或它的其中一部分)落在了通道x的左邊,那它一定完全落在某 個通道內。p(1)顯然成立:方塊根本不可能佔據通道1左邊的某個格仔,因為通道1左邊啥都沒有。下面我們說明,當p(n)為真時,p(n+1)也為真。

我們首先要證明乙個引理:在迴圈中的任意時刻,通道n的實際迴圈區內絕對不可能出現形如「□■ 」的兩個併排的格仔。如圖4.1,假設圖中星號方塊所在行是通道n的實際迴圈區內位置最低的「□■ 」的結構。假如這一行被消掉了,又由歸納假設,不存在哪個「s」形方塊跨越了該通道的左邊界,因此只有一種可能:某個「s」形方塊從左側麵擠了進來(如圖4.2)。但這樣一來,我們又產生了乙個更低的「□■ 」,矛盾。這就是說,星號方塊所在行一直沒被消去。但這也是不可能的,因為實際迴圈區內是乙個新陳代謝、以舊換新的更替過程,每一行最後都是會被消除的。

接下來,考慮命題p(n+1)。要想讓「s」形方塊佔據通道n的格仔,只有圖5這四種情況。但是,由於我們之前證明了通道n中不能存在「□■ 」,因此在這個「s」形方塊落下之前,星號方塊都是已經有了的了。注意到,每乙個「s」形方塊的下落都致使「■□ 」形結構的減少,但第一種情形除外——它消除了乙個「■□ 」形結構,但在其上方帶來了乙個新的,使得「■□ 」形結構個數保持不變。沒有哪種情形能夠增加「■□ 」的個數。但是,通道n的「■□ 」形結構個數應該是恆定的,因為它在乙個迴圈區里。因此,只有第一種情況才能夠被接受。

因此,僅含有「s」形方塊的迴圈只有一種情況——「s」形方塊在各個通道內重疊,填滿並消除若干行後回到初始狀態。實際迴圈區內的每個通道都是乙個模樣:底下是0個或多個「■■ 」,頂部乙個「■□ 」。注意,最右側那個通道的最頂端是乙個「■□ 」,右邊這個空白一輩子也不可能用「z」形方塊填上。也就是說,在乙個只含「s」形方塊的迴圈區內,必然會有某一行,它的最右側是乙個「■□ 」,它保證了該行不能僅用「z」形方塊消掉。如圖6所示,箭頭所指的行無法單用「z」形方塊消除,因為星號位置不可能用「z」形方塊填充。

下面我們給出遊戲機害死人的演算法:

1. 不斷給出「s」形方塊並顯示下乙個方塊也為「s」,直到出現乙個迴圈;

2. 給乙個「s」形方塊並顯示下乙個方塊為「z」;

3. 不斷給出「z」形方塊並顯示下乙個方塊也為「z」,直到出現乙個迴圈;

4. 給乙個「z」形方塊並顯示下乙個方塊為「s」;

5. 跳回1並重複執行。

這樣的話,玩家為什麼會無解呢?由上面的結論,在第1步後,遊戲區域中出現了乙個不能用「z」消除的行。即使再給你乙個「s」形方塊,這一 點仍然無法挽救,因為填充星號空格的唯一途徑就是插乙個「s」進去,但這立即又產生了乙個「z」永遠放不進去的空位。然後,玩家就拿到了一大堆「z」,最 終必然會產生另乙個迴圈,且這個迴圈區在剛才那個無法消去的行之上(迴圈區不可能包含乙個不能消除的行,因為正如前面所說,乙個實際迴圈區的所有行最終都 是會被消掉的,這樣才可能迴圈)。這個迴圈區的最左邊那個通道將會產生乙個「□■ 」結構,是「s」所不能消去的。於是,遊戲機又給出一大堆的「s」,最終使得兩種無法消去的行交替出現,直至game over。

有兩點值得注意。一、雖然我們這裡假設遊戲機是有主觀能動性的,但事實上呢,即使方塊是隨機出的,如果你足夠倒霉的話,這個特殊的方塊序列 可能恰好就讓你乙個不錯地碰上了;雖然這種怪事的發生概率極低,但理論上說仍然是可能的,因此俄羅斯方塊終究不是玩不死的,總有乙個時候會game over。二、這個結論可以直接擴充套件到場地為任意寬度的俄羅斯方塊遊戲。當場地寬為偶數時,上述證明同樣有效;當場地寬為奇數時,無窮多個方形方塊就可以 直接乾掉玩家。

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永無止境 Limitless

導演 尼爾 博格 編劇 leslie dixon alan glynn 主演 布萊德利 庫珀 艾比 考尼什 羅伯特 德尼羅 安德魯 霍華德 安娜 弗萊爾 梅天悅 約翰尼 威特沃斯 型別 科幻 懸疑 驚悚製片國家 地區 美國 語言 英語 上映日期 2011 03 18 美國 2011 10 13 中國...