給定兩個序列x=
x1,x
2,x3
...,
xm和y=y
1,y2
,y3,
...,
yn，求x和y的最長公共子串行。
例子：x=注意：最長公共字串（longestcommonsubstring）要求元素必須連續，最長公共子串行不要求，只要求子串行前後順序不變。a,b,
c,b,
d,a,
b ，y=
b,d,
c,a,
b,a ,最長公共子串行為b,
c,b,
a 。
問題意義：一種衡量兩個序列「相似度」的方法，最長公共子串行越長，兩者相似度越高。1.暴力破解法：x的子串行共有2^m種，對於每一種x的子串行判斷是否為y的子集，y的子串行有2^m種，需要指數級別的時間複雜度o(2^(m+n))。補充：其他衡量兩個序列/串相似度的方法：
1.如果，將乙個串轉換成另乙個串的所需的操作步驟很少，那麼兩者是相似的；（《程式設計之美》字串距離；《演算法導論》15-5編輯距離）
2.如果乙個串為另乙個串的子串，那麼兩者是相似的。（字串匹配）
2.動態規劃法，時間複雜度o(m*n)。
定義：x=設計lcs的演算法首先要建立最優解的遞迴式。我們定義c[x1,x
2,x3
...,
xm的第i個字首為xi
=x1,
x2,x
3...
,xi (i<=m,i=0的xi為空串) 令x
=x1,
x2,x
3...
,xm 和y=
y1,y
2,y3
,...
,yn 為兩個序列，z=
z1,z
2,z3
,...
,zk 為
x 和
y的任意lcs。
lcs的最優子結構：
1.如果xm
=yn ，則zk
=xm=
yn且zk
−1是xm
−1和yn
−1的乙個lcs。
2.如果xm
≠yn ，那麼zk
≠xm 意味著
z 是xm
−1和y
的乙個lcs。
3.如果xm
≠yn，那麼zk
≠yn 意味著
z 是x和
yn−1
的乙個lcs。
i,j]
表示xi
和yj 的lcs的長度，根據lcs問題的最優子結構性質，可得到如下公式： c[
i,j]
=0,若
i=0或
j=0
c[i,
j]=c
[i−1
,j−1
]+1,
若i,j
>0且
xi=y
j c[
i,j]
=max
(c[i
−1,j
],c[
i,j−
1]),
若i,j
>0且
xi≠y
j lcs問題只有o(m*n)個不同的子問題，可以用自底向上的動態規劃演算法實現。
表b用於構造最優解，表c用於用於記錄lcs長度，偽**如下：
lcs-length(x,y)
m = x.length
n = y.length
let b[1...m,1..n] and c[0...m,0...n] be new tables
for i = 1
to m
c[i,0] = 0
for i = 1
to n
c[0,i] = 0
for i = 1
to m
for j = 1
to n
if xi = yj
c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1
b[i,j] = '↖'
elseif c[i-1,j] >= c[i,j-1]
c[i,j] = c[i-1,j]
b[i,j] = '↑'
else
c[i,j] = c[i,j-1]
b[i,j] = '←'
return b and c
偽**如下：
print-lcs(b,x,i,j)
ifi == 0 or j == 0
return
elseif b[i,j] == '↖'
print-lcs(b,x,i-1,j-1)
print xi
elseif b[i,j] == '↑'
print-lcs(b,x,i-1,j)
else
print-lcs(b,x,i,j-1)
2.如果只計算lcs的長度，不需重構lcs中的元素，那麼c表只需要兩行就可以了，空間需求減少為o(min(m,n))。
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