堆的基礎知識

堆也可以說是乙個完全二叉樹，就是除了最底層的，其它層是滿的，既然我們可以用完全二叉樹來表示乙個堆，那麼我們這裡就採用陣列結構的二叉樹來闡述堆的性質。

假設在這裡我們用陣列a表示堆，a[i]表示堆裡面的第i個元素，於是我們通過二叉樹的性質可知:

就如下圖表現所示：

小優化:我們知道在計算機裡面做乘法和除法是特別慢的。但是某些時候，我們就可以採用左移和右移來代替乘以2和除以2的操作，比如1<<2，那麼就是2,4>>1，那麼結果就是2，我們知道左移和右移的操作是非常迅速的。所以我們在計算父節點座標和子節點座標的時候可以採用這種方法來實現:

#define parent(i) ((i)>>1)

#define leftchild(i) ((i)<<1)
#define rightchild(i) (((i)<<1)+1)

只要在二叉樹結構裡面，對於除了根節點意外的任何節點i都滿足: a[

pare

nt[i

]]i]

那麼就稱具有這種性質的堆為最小堆

與最小堆類似，只要在二叉樹結構裡面，對於除了根節點意外的任何節點i都滿足: a[

pare

nt[i

]]>a[

i]那麼就稱具有這種性質的堆為最大堆

對於即即使最小堆也不是最大堆的堆來說，這種對我們就稱之為堆

假如我們改變最大堆裡面的乙個元素的大小，那麼整個最大堆的性質將會被破壞，這裡我們需要找到一種在改變了最大堆或者是最小堆的元素的情況下，進行一定變換就可以保持堆原有性質的方法！

因為最大堆和最小堆基本類似，於是我們在這裡選出最大堆進行講解，我們假設維護最大堆性質的函式為max-heapify(a,i),這裡輸入需要維護的堆a和改變的元素位置i。在堆a進行維護之前，必須保證i節點的左子樹left(i)和右子樹right(i)有最大堆的性質,這一點很重要

下面我們用偽**實現max-heapify(a,i)

max-heapify(a,i)

return

leftchild = leftchild(i)

rightchild = rightchild(i);

maxpos = i

if a[leftchild] > a[i]:

maxpos = leftchild;

if a[rightchild] > a[maxpos]:

maxpos = rightchild;

if(maxpos == i)

return;

exchange(a,maxpos,i)

max-heapify(a,maxpos)在這裡，我們採用將元素沉降的方法，將較小的元素向下沉降，較大的元素向上移動，假設我們這裡有這樣乙個例子：

假設以i為根節點一棵子樹，現在我們要對其從根節點開始進行最大堆的性質維護，那麼我們需要多大的時間花費呢 t（

n)≤t

(n2/

3)+o

(1)

證明:假設我們有一棵完全二叉樹

t ，這棵二叉樹有

n個節點，高度為h+

1 ,那麼在將根節點去掉以後左子樹剩餘節點數最多為：(2

h+1−

2)/2

+2h=

2∗2h−1(

t 的最底層元素個數為

t為滿二叉樹時最底層元素個數的一半)，，在去掉根節點以後，剩下的總結點個數為2h

+1+2

h−1=

3∗2h

−1,那麼在在去掉根節點以後，左子樹的節點數量與及剩下總節點個數相比為2∗

2h−1

3∗2h

−1,於是

limh→∞

2∗2h

−13∗

2h−1

=23

logn

)

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