堆排序實現

1、堆排序演算法描述：

（1）定義

n個關鍵字序列kl，k2，…，kn稱為（heap），當且僅當該序列滿足如下性質（簡稱為堆性質）：

1)ki<=k(2i）且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n/2），當然，這是小根堆，大根堆則換成》=號。//k(i）相當於

二叉樹的非

葉子結點，k(2i）則是左子節點，k(2i+1）是右子節點

2)若將此序列所儲存的向量r[1..n]看做是一棵完全二叉樹的

儲存結構

，則堆實質上是滿足如下性質的完全二叉樹：

樹中任一非葉子結點的關鍵字均不大於（或不小於）其左右孩子（若存在）結點的關鍵字。

(2)用大根堆排序的基本思想

① 先將初始檔案r[1..n]建成乙個大根堆，此堆為初始的無序區

② 再將關鍵字最大的記錄r[1]（即堆頂）和無序區的最後乙個記錄r[n]交換，由此得到新的無序區r[1..n-1]和有序區r[n]，且滿足r[1..n-1].keys≤r[n].key

③由於交換後新的根r[1]可能違反堆性質，故應將當前無序區r[1..n-1]調整為堆。然後再次將r[1..n-1]中關鍵字最大的記錄r[1]和該區間的最後乙個記錄r[n-1]交換，由此得到新的無序區r[1..n-2]和有序區r[n-1..n]，且仍滿足關係r[1..n-2].keys≤r[n-1..n].keys，同樣要將r[1..n-2]調整為堆。

……直到無序區只有乙個元素為止。

（3）大根堆排序演算法的基本操作：

①建堆，建堆是不斷調整堆的過程，從len/2處開始調整，一直到第乙個節點，此處len是堆中元素的個數。建堆的過程是線性的過程，從len/2到0處一直呼叫調整堆的過程，相當於o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示節點的深度，len/2表示節點的個數，這是乙個求和的過程，結果是線性的o(n)。

②調整堆：調整堆在構建堆的過程中會用到，而且在堆排序過程中也會用到。利用的思想是比較節點i和它的孩子節點left(i),right(i)，選出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是節點i而是它的乙個孩子節點，那邊互動節點i和該節點，然後再呼叫調整堆過程，這是乙個遞迴的過程。調整堆的過程時間複雜度與堆的深度有關係，是lgn的操作，因為是沿著深度方向進行調整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的兩個過程來進行的。首先是根據元素構建堆。然後將堆的根節點取出(一般是與最後乙個節點進行交換)，將前面len-1個節點繼續進行堆調整的過程，然後再將根節點取出，這樣一直到所有節點都取出。堆排序過程的時間複雜度是o(nlgn)。因為建堆的時間複雜度是o(n)（呼叫一次）；調整堆的時間複雜度是lgn，呼叫了n-1次，所以堆排序的時間複雜度是o(nlgn)。

2、堆的儲存

一般用陣列來表示堆，若根結點存在序號0處， i結點的父結點下標就為(i-1)/2。i結點的左右子結點下標分別為

2*i+1

和2*i+2

。3、堆排序演算法實現（最大堆）

#include void printarray(int thearray, int n)
std::cout << std::endl;
}void adjustheap(int thearray, int n, int start) //從start索引處結點開始調整 
} if(leftindex < n) //start索引處結點存在左孩子結點，但不一定存在右孩子結點
} adjustheap(thearray, n, start-1); //再次遞迴調整start索引處的上乙個結點 
}void constructheap(int thearray, int n)
void heapsort(int thearray, int n)
int main(int argc, char *argv) ;
int length = sizeof(myarray) / sizeof(myarray[0]);
constructheap(myarray, length);
heapsort(myarray, length);
printarray(myarray, length);
return 0;
}

4、堆的時間複雜度和空間複雜度

堆的最好、最壞以及平均時間複雜度是o(nlogn).

堆的空間複雜度是o(1).

感想：剛開始實現建立堆時，以為需要建立乙個二叉樹輔助幫助，其實這個所謂堆(即完全二叉樹)只是邏輯結構，真實的物理結構還是那個順序陣列，在建立大堆或小堆的過程中，均是以順序陣列為基礎，而邏輯上是操作一顆完全二叉樹，故完全不需要建立乙個輔助完全二叉樹。

堆排序實現

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實現堆排序

堆排序實現

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