演算法設計與資料結構 匈牙利演算法求最大匹配

設g=(v,e)是乙個無向圖。如頂點集v可分割為兩個互不相交的子集v1,v2，選擇這樣的子集中邊數最大的子集稱為圖的最大匹配問題(maximal matching problem)

如果乙個匹配中，|v1|<=|v2|且匹配數|m|=|v1|則稱此匹配為完全匹配，也稱作完備匹配。特別的當|v1|=|v2|稱為完美匹配。

趣寫演算法系列之–匈牙利演算法

m是g的乙個匹配。

（m：）

m-交錯路:p是g的一條通路，如果p中的邊為屬於m中的邊與不屬於m但屬於g中的邊交替出現，則稱p是一條m-交錯路。例如:x1-y1-x3-y2

m-飽和點:對於v∈v(g)，如果v與m中的某條邊關聯，則稱v是m-飽和點，否則稱v是非m-飽和點。如x2，x3，x4,x6,y1，y3,y4,y5都屬於m-飽和點，而其它點都屬於非m-飽和點。

m-可增廣路:p是一條m-交錯路，如果p的起點和終點都是非m-飽和點，則稱p為m-可增廣路。例如:x1-y1-x3-y2

求最大匹配的一種顯而易見的演算法是:先找出全部匹配，然後保留匹配數最多的。但是這個演算法的時間複雜度為邊數的指數級函式。因此，需要尋求一種更加高效的演算法。下面介紹用增廣路求最大匹配的方法(稱作匈牙利演算法，匈牙利數學家edmonds於2023年提出)。

由增廣路的定義可以推出下述三個結論:

1-p的路徑個數必定為奇數，第一條邊和最後一條邊都不屬於m。
2-將m和p進行取反操作可以得到乙個更大的匹配m'。
3-m為g的最大匹配當且僅當不存在m的增廣路徑。

⑴置m為空

⑵找出一條增廣路徑p，通過異或操作獲得更大的匹配m'代替m
⑶重複⑵操作直到找不出增廣路徑為止

在這個過程中，如何快速找出增廣路呢？

這裡提供一種方法：如下圖所示，找乙個非m-飽和點，畫一棵m-交錯樹，如果能找到，就重複（2），不能找到演算法就可以結束咯~

//偽**

bool 尋找從k出發的增廣路}}
返回false;
}void 匈牙利hungary()
輸出 匹配數;
}

//c++**

//b[j]表示j的匹配物件，0表示未匹配
如圖g，比如我們現在進行find(x1)； 
x1會去找y1，但是發現b[y1]不是0了，於是遞迴進行find(x3)，此時v[y1]=1，已經被標記，所以x3不能再找y1了，於是它找到了y2（當然，如果y2已經名花有主，那麼再次遞迴，讓y2的主另尋他歡）
在這個過程中，發生了這樣的事情：我們試圖將(x1, y1)，(x3, y2)增加到m中，而將(x3,y1)從m中刪除——這正是在試圖用m』來代替m，一旦找到增廣路，返回true，則遞迴收縮回來，逐步執行b[j]=x來修改邊，如果找不到增廣路，返回false，則一切的修改都不會執行。
 
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