演算法系列（一） Google方程式

用計算機窮舉所有的解

以上是用人的思維方式的解題過程，如果方法正確，加上運氣好（三次假設都是正確的，避免在錯誤分支上浪費時間），兩分鐘內就可得到結果。但是考慮到更通用的情況，字母數字沒有規律，也沒有可供分析的入手點和線索，比如：

aab – bbc = ccd

這樣的問題，該什麼方法解決呢？只能「猜想」，用窮舉的方法試探每一種猜想，對每個字母和數字窮舉所有可能的組合，直到得到正確的結果。當然，這樣的力氣活交給計算機做是最合適不過了。

1. 建立數學模型

要想讓計算機解決問題，就要讓計算機能夠理解題目，這就需要建立乙個計算機能夠識別、處理的數學模型，首先要解決的問題就是建立字母和數字的對映關係的數學模型。本題的數學模型很簡單，就是乙個字母二元組：。考察等式：

wwwdot - google = dotcom

共出現了9個不同的字母：w、d、o、t、g、l、e、c 和m，因此，最終的解應該是9個字母對應的字母二元組向量：[ , , , , , , , , ]。窮舉演算法就是對這個字母二元組向量中每個字母二元組的number元素進行窮舉，number的窮舉範圍就是0－9共10個數字，當然，根據題目要求，有一些字符不能為0，比如w、g和d。排列組合問題的窮舉多使用多重迴圈，看樣子這個窮舉演算法應該是9重迴圈了，在每層迴圈中對乙個字母進行從0到9遍歷。問題是，必須這樣嗎，對於更通用的情況，不是9個字母的問題怎麼辦？首先思考一下是否每次都要遍歷0－9。題目要求每個字母代表乙個數字，而且不重復，很顯然，對每個字母進行的並不是排列，而是某種形式的組合，舉個例子，就是如果w字母占用了數字7，那麼其它字母就肯定不是7，所以對d字母遍歷是就可以跳過7。進一步，假設某次遍歷的字母二元組向量中除m字母外其它8個字母已經有對應的數字了，比如：

[ , , , , , , , , ] （序列－1）

那麼m的可選範圍就只有2和6，顯然沒必要使用9重迴圈。

現在換一種想法，對9個二元組的向量進行遍歷，可以分解為兩個步驟，首先確定第乙個二元組的值，然後對剩下的8個二元組進行遍歷。顯然這是一種遞迴的思想（分治），演算法很簡單，但是要對10個數字的使用情況進行標識，對剩下的二元組進行遍歷時只使用沒有占用標識的數字。因此還需要乙個標識數字占用情況的數字二元組定義，這個二元組可以這樣定義：，0－9共有10個數字，因此需要維護乙個長度為10的數字二元組向量。數字二元組向量的初始值是：

[, ,,,, ,,,,] （序列－2）

每進行一重遞迴就有乙個數字的using標誌被置為true，當字母二元組向量得到（序列－1）的結果時，對應的數字二元組向量的值應該是：

[, ,,,,,,,,] （序列－3）

此時遍歷這個數字二元組向量就可以知道m字母的可選值只能是2或6。

窮舉遍歷的結束條件是每層遞迴中遍歷完所有 using標誌是false的數字，最外一層遍歷完所有using標誌是false的數字就結束了演算法。

根據題目要求，開始位置的數字不能是0，也就是w、g和d這三個字母不能是0，這是乙個「剪枝」條件，要利用起來，因此，對字母二元組進行擴充成字母三元組，新增乙個leading標誌：。下面就是這個數學模型的c語言定義：

4 typedef struct
5 charitem; 
10 
11 typedef struct
12 charvalue;

根據此數學模型初始化字母三元組和數字二元組向量：

29    
30 charitem char_item[max_char_count] = 
31 , , , 
33 , , , 
34 , , 
35 }; 
36 
37 charvalue char_val[max_number_count] = 
38 , , , , 
40 , , , , 
41 , 
42 }; 
43

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