這周遇到了兩個有趣的數學問題，覺得它們有一些比較相似的性質。所以在這裡總結一下。
後面會補充和修正。
這裡寫出來，純做啟發。
這裡的基是指一組量，這些量可以線性組合的表示出任何這個維度的量。
十進位制的一組基就是一組十進位制數，這組十進位制數可以線性表示出任何十進位制數。並且這種表示是唯一的。
線性表示，可以理解成相加運算。
十進位制的一組基，即1,2,4,8,16,32,64,……即2^n(n=0, 1, 2, 3, ……)
這組數可以任意相加（相減）得到任何的一組十進位制整數。
為什麼這組數會是基呢？我們把它們寫出二進位制數就明白了。
1,10,100,1000，……
用這些數相加正好可以得到任意的二進位制數，而這些二進位制數和十進位制數是一一對應的。
有一道智力題，說如果有無限的水，用3公升和5公升的無刻度水桶如何精確得到4公升的水？
這道題不難，如果我們用數字表示其中的狀態，a桶是3公升，b桶是5公升，那麼其對應的步驟是
a+3，b;
a-3->b+3;
a+3，b;
a-2->b+2;
a,b-5;
a-1,b+1;
a+3;b;
a-3->b+3;
我們還可以看到很多問題，比如3公升和7公升的桶得到5公升，6公升的水等等。
那麼這個問題在數學上其實有對應的抽象概念。我們先來看互質數。
兩個互質數，即最大公約數為1的兩個非零整數，如3和5.
互質數的判定有以下幾個技巧：
（1）相鄰的兩個奇數是互質數。例如 49與 51。
（2）兩個相差4的奇數是互質數。例如 49與 53。
（3）大數是質數的兩個數是互質數。例如97與91。
（4）小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。例如 7和 16。
（5）1和任何自然數（0除外）都是互質數。
互質數的性質：
兩個互質數一定可以通過有限次四則運算得到1.
用數學表示則是：存在整數m,n,使得互質數a,b滿足ma+nb = 1;
這條性質的證明可用輾轉相除法，因為輾轉相除法的最後結果是1，中間結果都能線性表示。
可以表示1，那麼經過一定步數之後就可以表示任何整數。
這裡就是兩個容量為互質數的水桶，可以取出任意整數公升的水。相當於以這兩個數為基經過線性運算可以得到
其它的數。
下面是一種快速求解倒水問題的演算法
用小桶容量的倍數對大桶的容量進行取餘，就可以快速得到一種四則運算
比如3公升和7公升的桶
3%7 = 4
3*2%7 = 1
3*3%7 = 2
3*4%7 = 5
3*5%7 = 1
3*6%7 = 4
3*8%7 = 3
……
未完待續~
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