現在有
n 行
n列的方矩陣
a ，它可以寫成a=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎢a
1,1a
2,1⋮
an,1
a1,2
a2,2
⋮an,
2……⋱
…a1,
na2,
n⋮an
,n⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
⎥記a 矩陣的行列式為
det(a)
，可以表示成 ∣∣
∣∣∣∣
∣a1,
1a2,
1⋮an
,1a1
,2a2
,2⋮a
n,2…
…⋱…a
1,na
2,n⋮
an,n
∣∣∣∣
∣∣∣
2×
2 matrices∣
∣∣ac
bd∣∣
∣=ad
−bc
3×
3 matrices∣
∣∣∣a
dgbe
hcfi
∣∣∣∣
=a∣∣
∣ehf
i∣∣∣
−b∣∣
∣dgf
i∣∣∣
+c∣∣
∣dge
h∣∣∣
=a(e
i−fh
)−b(
di−f
g)+c
(dh−
eg)=
aei+
bfg+
cdh−
ceg−
bdi−
afh.
n×
n matrices
det(a
)=∑σ
∈sns
gn(σ
)∏i=
1nai
,σi
其中，s
n 是集合
的所有置換。 sg
n 表示置換
σ 的奇偶性，當
σ 的逆序對數為偶數個時， sg
n(σ)
=1，而為奇數個時，sg
n(σ)
=−1 。
交換矩陣不同兩行，行列式值取相反數。
將某行的任意倍加到另一行，行列式值不變。
如果矩陣是上三角矩陣，行列式值等於對角線元素的積。給定n
個點m條邊的有向無環圖，
另外圖中有
k 個入度為零的起始點si
(si+1)和
k 個出度為零的終止點ti
(ti+1)，
現在要為每個起始點si
安排乙個終止點ta
i ，
每個終止點ta
i 要用且只能用一次，
乙個方案合法，當且僅當存在si
到tai
的路徑，且這些路徑沒有交集。
當排列 的逆序對數為偶數時，該方案貢獻為
1 ，否則為−1
。 問所有方案的貢獻和，答案對質數
p 取模。n≤
6×102
m≤10
5 p
≤109+
7 我們先考慮乙個簡單點的問題。k=
2 且起始點為a1
,a2 ，終止點為b1
,b2 。 記w
u,v 為
u 到
v的路徑數， fu
,v,p
為路徑up
,vp 第一次有交集是在點
p 的方案數。
因為可行方案只有a1
b1,a
2b2或者
a1b2
,a2b
1 ，
根據題目貢獻的定義，可以得到答案是−(
wa1,
b1⋅w
a2,b
2−∑i
fa1,
a2,i
⋅wi,
b1⋅w
i,b2
wa1,
b2⋅w
a2,b
1−∑i
fa1,
a2,i
⋅wi,
b1⋅w
i,b2
) 化簡式子，發現答案是 wa
1,b1
⋅wa2
,b2−
wa1,
b2⋅w
a2,b
1 ，
這個形式非常的優美，和2×
2 matrices行列式的公式是相類似的。
然後我們可以試驗k=
3 的情況，也可以對照n×
n matrices行列式公式，
發現答案的形式是和行列式的計算公式是一樣的。
那我們利用這個結論，不難得出這道題的解決方式。
算出每對起點終點(s
,t) 間的路徑數，這個用簡單的拓撲排序就可以解決，
這相當於處理出[k
×k] 的矩陣，然後根據行列式的性質，我們進行高斯消元，從而算出矩陣的行列式。
時間複雜度：o(
n(n+
m)+k3)。
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