美國史丹福大學的麥卡錫提出的
設有兩個自然數x、y，2<=x<=y<=99,s先生知道這兩個數的和s，p先生知道這兩個數的積p，他們二人進行了如下對話：
s：我確信你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。
p: 一聽你說這句話，我就知道這兩個數是什麼了。
s: 我也是，現在我也知道了。
現在你能通過他們的會話推斷出這兩個數是什麼嗎？（當然，s和p先生都是非常聰明的）
方法一：
我把思路說一下吧
1.ｓ先生自己不知道ｘ，ｙ
說明和數ｓ不是4，5，197，198
2.ｓ先生知道ｐ先生不知道ｘ，ｙ
首先，什麼樣的數p先生可以知道呢？
如s=8
8=2*4 8=1*8 後者是不可能的( x,y>=2 )
又如 s=25
25=5*5 只有一種
這樣p先生就能知道x,y
這說明ｓ分解後 ｓ＝m1+n1=m2+n2=.....
m1*n1 分解成 乘積 的形式有 兩種或兩種以上，
若 s=11
11＝2+9 2*9=18 18=2*9=3*6
11=3+8 3*8=24 24=2*12=3*8=4*6
11=4+7 4*7=28 28=2*14=4*7
這樣s先生可以確定p先生不能知道ｘ，ｙ
所以s先生知道的 和數s 是如下的數
sa=sa也不可以是29，因為29=7+11+11，則x，y=88，11，
同樣得到sa=
3.p先生聽了s先生的話後，知道了ｘ，ｙ
我們可以想像p先生根據s先生的話，已經知道s先生知道的和數是集合sa中的數
若自己所知道的乘積p分解成m*n後 其中有乙個（m+n）是集合sa中的數
則 m,n就是所求的數ｘ，ｙ
如 p=18
18=2*9 2+9=11
18=3*6 3+6=9
11屬於sa
ｘ，ｙ就是 2 和 9
若p=72
72=2*36 2+36=38
72=3*24 3+24=27
......
72=8*9 8+9=17
其中27,17都屬於sa
於是72被排除了
所以ｐ先生所知道的乘積是如下
pb=所知道的ｘ，ｙ是乘積在pb中，且 乘積分解後的兩數的和只有乙個 在sa中的數對，記為
xy=4.ｓ先生也知道了ｘ，ｙ
可以知道，這時ｓ先生也知道ｐ先生知道的數的範圍xy
如果ｓ分解後的兩數s=m+n,(m,n)只與xy中的乙個數對相同
這樣，ｓ先生也就找到了ｘ，ｙ ，但是沒有這樣的數。
方法二：
我看到過答案，這是根據我的理解寫下的
1、s：我確信你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。
為什麼s先生這麼確定？換句話說p先生得到怎樣的組合就能立刻知道mn的值呢？
先看看哪些情況下ｐ先生能立刻得到答案
（１）mn不能同時為質數。
mn為質數，那麼他們的乘積分解成兩個因子乘積的可能性就唯一了，那麼p先生就會立刻得知mn的值。
譬如34=1*34=2*17，因為nm是大於等於2的，那麼1*34這樣的組合是不可能的，那麼mn就是2和17。
mn不為質數，那麼他們可能之中有1個質數，或者２個同為合數。
（２） 如果mn中有乙個質數，那麼那個質數不會大於50
如果mn有乙個大於50，那麼他們分解成兩個因子乘積的可能性中，其他的分解方式都會有乙個因子會超過100，然麼分解方式必然會被p排除，那就只剩下一種方式，p也就立刻知道答案。
譬如318 = 6*53 = 3*106 = 2*159，因為mn小於等於99，那麼後兩種可能性肯定被排除。mn就肯定是6，53。
（３） 如果mn都是合數，那麼都不會大於５０
理由同上。可就是ｐ分解因子，只有一種情況下ｍｎ是小於１００的，其他情況ｍｎ必有一數大於等於１００。
其實mn的積也不會是8或者27，因為8 = 2*4 27=3*9，分解因子也就一種情況
mn的值在以上情況下ｐ先生可以立刻知道答案，那麼也就是說ｓ先生看到ｍｎ的和可以立刻推理出ｍｎ不可能存在上述的情況
（4）s不能分解成三個這樣的質數之和：
如果s=29=7+11+11.那麼x,y=11，88，或7，121 後面一種不符合。
又如果s=35=7+11+17，那麼x，y=7，187或11，119或17，88 前面兩種不符合。
（１）ｓ肯定是奇數
ｓ肯定是奇數，如果ｓ是偶數，那麼mn有可能是質數。（原作者引用了哥德**猜想：每乙個大於2的偶數都是兩個素數的和。雖然這個猜想沒有證明，但是在１００範圍以後可以實驗證明這個猜想是正確的。如果有例外的話，這個猜想也就不會這麼有名了。也就是說４－１００範圍以內的偶數都可以用兩個質數的和表示。）
（２）ｍｎ的和不能大於５4
這個推測的依據是建立在上面２、３之中的。因為ｓ先生確信ｐ先生不知道ｍｎ的值，所以２、３的情況是不會從ｍｎ的和中反應的。
（3）s-減去2的值不是質數
在質數中，2是乙個特例，他是質數中唯一的偶數。既然mn不能同時為質數，那麼s減去2的值也就不是質數了。
（4)s不等於29，35，37，41，47，51，53.
有上得s只能取11，17，23，27。
2、p: 一聽你說這句話，我就知道這兩個數是什麼了。
p先生和我們一樣，現在知道mn的和就只有上面的可能了。他只要把mn的積分解兩個因子乘積，所有可能性中，有且只有一組的可能性中兩個因子的和剛好是上面11個數中的乙個，那麼p先生就知道mn的值了。
假設p = 30 = 5*6 = 2*15，而5+6=11，2+15 =17，11和17都在上面11個數之中，那麼p先生就無法判斷mn到底是哪組數。所以p就不會等於30。
既然知道p先生的判斷方法，現在就從11個數出發，乙個個的推導。
3、s: 我也是，現在我也知道了。
s先生根據p先生的話知道了mn的積分解因子，只有一組的因子之和為11個數中間的乙個。而s先生同時也立刻知道mn的值。我們可以推斷，如果把mn之和拆成數個由乙個奇數和乙個偶數的組合，只有乙個組合符合下面的條件：這個奇數和偶數的乘積符合第2條p先生的判斷，也就是把這個積分解成兩個因子乘積，所有分解情況中，有且只有一組的情況中兩個因子的和剛好是上面11個數中的乙個。這樣s先生也就能知道mn的值了
我們只要把11個數拆成若干種奇偶組合，如果有2個或者2個以上的組合滿足p先生判斷條件，那麼這個數就不是mn的和。：
（１）11 = 2+9=4+7=6+5=8+3
2*9 = 18 = 3*6，3+6=9不在10個數中，那麼2*9符合。
4*7=28=2*14，前面說過mn是一奇一偶，2*14不考慮，4*7符合。
6*5=30=2*15，而6+5=11，2+15=17，兩個數都在11個數中，那麼p先生是無法判斷，所以這個組合可以略過。
8*3 = 24 = 2*12=4*6，，那麼2*12，4*6不用考慮，8*3符合
現在有3組數字符合，那麼11就不是mnd的和了
從上面看，如果把11拆成2的次方和乙個質數的組合，那麼只有一種分解是一奇一偶，其他的情況都是2個偶數。(4,7) = (2^2,7),(3,8) = (3,2^3)，這樣的組合分解就具有唯一性，就能滿足我們的要求。11可以拆成2個這樣的組合，11就可以排除了。
（2）23 = 2^2+19 = 2^4+7
27 = 2^2+23 = 2^3+19
上面是數可以拆成2組2的次方和乙個質數，也就是有2組符合p先生的判斷，故這些數可以排除，那就只剩下17，29了
（3）29 =16+13=2+27
2*27 = 54 =3*18=6*9，符合
16*13 是2^4和13，13是質數，肯定符合
29有2組符合，所以29排除。
（4）現在就只剩下17了。
17=4+13=6+11=7+10=8+9
4*13=52，6*11=66，7*10=70，8*9=72都只有一組符合。排除故無解。
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