《中國古代數學思想》讀書筆記（15）
第四章：數學思想的理論奠基——劉徽的數學思想。本篇記錄此章第3節的第3部分和第4節的第1、2、3部分。
4.3 極限（無限）思想——前無古人的演算法
3、開方不盡數
這是在《九章算術》少廣章開方術的注文中提出的，也是數學史上非常有名的話題：
「術文：若開之不盡者，為不可開，當以面命之。
注文：術或有以借算加定法而命分者，雖粗相近，不可用也。凡開積為方，方之自乘當還復有積分。令不加借算而命分，則常微少；其加借算而命分，則又微多。其數不可得而定。故惟以面命之，為不失耳。譬猶以三除十，以其餘為三分之一，而復其數可以舉。不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也。術文：若實有分者，通分內子為定實，乃開之。訖，開其母，報除。若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。訖，令如母而一。」
開方術的原文肯定了開方不盡數的存在，把sqrt (n)稱為n的「面」，即平方根，不論n是不是完全平方數。這是乙個了不得的數學認識，離無理數的發現也就是一步之差了！按：但這一步之差中國古人就是沒跨過去呀。畢達哥拉斯學派早在劉徽之前幾百年就發現了sqrt (2)是無理數，跨過了這一步之差。
劉徽指出「以借算加定法而命分」。設n開方已得的根為a，則有 sq
rt(n
)≈a+
(n−a
2)/(
2a+1
)
， 還有不加借算而給出的結果 sq
rt(n
)≈a+
(n−a
2)/2
a
。 非常重要的是劉徽指出 a+
(n−a
2)/(
2a+1
)rt(n
)(n−a
2)/2
a
， 得出了從不足近似值和過剩近似值兩方面逼近方根的認識和方法，在世界上是處於先進行列的。按：在劉之前，阿基公尺德得到了同樣的不足近似值和過剩近似值。他求出了根號3的很好的近似值：1351 /780 > sqrt(3) > 265 /153。
更重要的是，劉徽提出了不用分數逼近方根，而按前面的方法，不斷退位，一直用開方術計算下去，得到「微數」，就是十分小的數，而且是十進小數。因此這裡是給出的是用十進小數逼近方根，開啟了用小數逼近無理數的先河，真正是具有世界歷史意義的成果。按：這話有可疑之處。用小數逼近是沒錯，但無理數的概念，劉徽根本沒想到。
開方術的最後兩句話給出了分數開方的演算法：
設a是完全平方數，則 sq
rt(c
+b/a
)=sq
rt[(
ca+b
)/a]
=sqr
t(ca
+b)/
sqrt
(a)
， 設d不是完全平方數，則 sq
rt(e
/d)=
sqrt
(ed/
d2)=
sqrt
(ed)
/d。 這也是與現代十分一致的結果。按：本書沒有說清楚，這是《九章算術》原文的內容，不是劉徽的新結果。此外，如果要開方的數不能表示成有限分數，怎麼辦？這說明他們只考慮了有理數的開方，完全沒考慮無理數的開方。中國古人離無理數的概念不是一步之遙，而是離得遠呢！
4.4 以盈補虛思想——出入相補的原理
以盈補虛是劉徽進行演算法解釋或者說進行證明的一種基本思想。從這種思想出發，劉徽提出了乙個基本原理——出入相補原理。最典型的就是在圓田術、開方術和各種「化圓為方」問題中的應用。
1、初次應用
劉徽第一次應用出入相補原理，是在方田章中為圭田術作的注文中。按：圭是古代帝王、諸侯舉行隆重儀式所執玉製禮器，上尖下方。圭田即三角形田。
「又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二，問為田幾何？
答曰：二十三步六分步之五。
術曰：半廣以乘正從。
注文：半廣知，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以取中平之數，故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也。」
譯文：用廣（底邊）的一半乘從（高）。取廣的一半，是為了以盈補虛，使它變為長方形田。又可以取從的一半乘廣。術中所說的方法可以圖示出來。
出入相補原理在方田章下文的邪田（直角梯形）、箕田（梯形）以至於圓田等幾乎所有的求積計算中得到應用。
出入相補的做法本質上都是把面臨的問題轉化為已經解決的問題——就是現在所說的「關係對映反演」方法，這是現代數學中最基本最重要的數學思想或者數學方法。
2、在「圓田術」注中的運用
「術曰：半周半徑相乘得積步。
注文：按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。合徑率一而外周率三也。」
譯文：把半周作為從，半徑作為廣，按照方田術廣從相乘即得到積步。假設圓的直徑是2尺，那麼圓內接正六邊形的一邊，與圓的半徑，在數值上是相等的。這符合前人圓周長是直徑三倍的認識。這是劉徽指出前人之說，並用出入相補原理推證。將圓內接正六邊形的周長作為圓周長，正12變形的面積作為圓面積。如下圖，形成乙個以圓半徑為廣、正六邊形周長的一半為從的長方形。這是對出入相補原理的進一步應用。
3、開方術解釋
劉徽對少廣章開方術的註解是出入相補原理的乙個出色的運用，得到了非常現代的數學結果。
「開方。注文：求方冪之一面也。
術曰：置積為實。借一算，步之，超一等。
注文：言百之面十也。言萬之面百也。
術文：議所得，以一乘所借一算為法，而以除。
注文：先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也。
術文：除已，倍法為定法。
注文：倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定法。
術文：其復除，摺法而下。
注文：欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘，而以除。如是當復步之而止，乃得相命。故使就上折下。
術文：復置借算，步之如初。以復議一乘之。
注文：欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也。
術文：所得副以加定法，以除。以所得副從定法。
注文：再以黃乙之面加定法者，是則張兩青冪之袤。
術文：復除，折下如前。」
用圖來解釋劉徽的注文。
設n的平方根有三位數，sq
rt(n
)=a+
b+c ，其中a=
100a
1 是百位數，b=
10b1 是十位數，c是個位數。n是正方形abcd的面積。
開方時，先估計根的百位數a，就是「先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也」，從n中減去a2
（黃甲），剩下曲尺形eabcgf。
再求十位數b，從曲尺形中減去2a
b+b2
。就是減去兩個朱冪，以及黃乙。
再求個位數c，從曲尺形中減去2(
a+b)
c+c2
，就是兩個青冪和黃丙。正好減盡。如位數不止3位，可以按上述繼續做下去。
開方術的這個演算法，與現代筆算的開平方法完全一致。
中國古代稱謂大全
中國是乙個禮儀之邦,在稱謂方面很講究,主要有尊稱和謙稱,其它有自稱 他稱 鄙稱 專稱 代稱 慣稱等。一 尊稱 尊稱,也叫敬稱,是對談話對方表示尊敬的稱呼,表示尊稱所用的詞叫做敬辭.按敬辭的詞性分三種情況 一 是直接用表敬稱的代詞,一般是單音節詞,常用的有 汝 爾 子 而 公 君 等,這些均可譯作 您...
中國古代稱謂大全
中國是乙個禮儀之邦,在稱謂方面很講究,主要有尊稱和謙稱,其它有自稱 他稱 鄙稱 專稱 代稱 慣稱等。一 尊稱 尊稱,也叫敬稱,是對談話對方表示尊敬的稱呼,表示尊稱所用的詞叫做敬辭.按敬辭的詞性分三種情況 一 是直接用表敬稱的代詞,一般是單音節詞,常用的有 汝 爾 子 而 公 君 等,這些均可譯作 您...
中國古代著名戰役，你知道幾個？
中華上下五千年，不知經歷過多少的戰役，小戰役無數，然而說的出名字的也有很多。從上古時期的逐鹿之戰，阪泉之戰到中國古代最後乙個王朝 清朝的三藩之亂，雅克薩之戰，每一場戰役都在改變著歷史的軌跡，造就了如今的局面。列舉的中國古代著名戰役有哪些吧。同樣以少勝多的戰役還有赤壁之戰，東漢末年，孫權 劉備聯軍在長...