主元素問題

主元素(majority number)定義為陣列中出現次數嚴格超過一半的數。找到這個數。要求使用o(1)的額外空間和o(n)的時間。

初階：有n個數，其中乙個數的出現次數嚴格超過了一半。求這個數。

高階1：有n個數，其中兩個數的出現次數都超過了⅓ ，求這兩個數。

高階2：有n個數，其中乙個數的出現次數嚴格超過了⅓，並且沒有第二個這樣的數。求這個數

高階3：

如果陣列中存在且只存在乙個出現次數嚴格超過1/k的數，找到這個數。要求使用o(k)的額外空間和o(n)的時間

。初階：

採用抵消法。一旦發現陣列中存在兩個不同的數，就都刪除，直到剩下的數都一樣。此時剩下的數就是主元素。因為每次抵消操作之後，剩下來的數種，主元素一定也還是超過一半的。具體實現的時候，記錄乙個candidate和其出現的次數count，遍歷每個數，如果count==0，則把candidate置為遍歷到的數，否則看遍歷到的數和candidate是否相等，如果相等，則count++，否則count--（抵消），遍歷結束後，candidate就是主元素。c++實現如下：

int majorityelement2(vector& nums)

高階1：仍然是抵消法。如果三個數不一樣，就三個數都扔掉。因此記錄2個數，及其各自出現次數即可。直接上**：

vectormajorityelement(vector& nums) 
else if (cnt2 == 0) else 
}int count1=0,count2=0,tmp=0;
for(int i=0;in/3)
res.push_back(tmp1);
if(count2>n/3)
res.push_back(tmp2);
return res;
}

高階2：該問題其實是高階1的簡化版，可直接通過修改高階1**實現

int majorityelement(vector& nums) 
else if (cnt2 == 0) else 
}int count1=0,count2=0,tmp=0;
for(int i=0;icount2)return tmp1;
else return tmp2; 
}

高階3：乙個方法是按照前面的進行推廣，如果出現k個不一樣的數，就抵消掉。假設k=4，實現如下

int majorityelement4(vector& nums) 
else if (cnt2 == 0) else if (cnt2 == 0) else 
}int count1=0,count2=0,count3=0;
for(int i=0;imymap;
mymap.insert(pair(count1, tmp1));
mymap.insert(pair(count2, tmp2));
mymap.insert(pair(count3, t***));
map::iterator iter = mymap.find(c);
return iter->second;
}

高階3：另乙個思路是，如果出現k個不一樣的數，就抵消掉。這裡需要用巧妙的資料結構來記錄candidates，並使得如下操作均為o(1)：

1. 加入乙個candidate/給某個candidate出現次數+1

2. candidates中是否存在某個數

3. candidates中所有數的出現次數 - 1

4. 移除出現次數為0的candidates

對於1,2兩個操作，我們自然可以想到使用hash表來完成。對於第4兩個操作，我們希望能夠有出現次數最少的candidate的資訊，但是如果使用heap則並非o(1)的時間複雜度。注意到每一次加入乙個candidate時，count均為1，每一次給改變乙個candidate出現次數時，也只涉及到加1運算。因此，如果我們能維護candidates的有序性，就可以容易的解決這個問題。方法是，使用linkedlist。與普通的linkedlist不同的是，我們將所有出現次數相同的candidate放在乙個bucket裡，bucket內部的candidate用doubly linked list鏈結起來，bucket之間也用doubly linked list鏈結起來。這樣針對+1運算，我們只需要通過hash表找到對應的candidate，把candidate從當前的bucket移動到下乙個bucket（出現次數+1的bucket)。另外，對於所有數-1的操作，我們記錄全域性的乙個base，每次-1操作，則base+1。如果base和buckets中的第乙個bucket中的candidates的出現次數相同，則整個刪除第乙個bucket。最後，我們會得到最大k-1個candidates，重新遍歷一遍整個陣列，用o(k)的hash記錄這k-1個candidates的出現次數，就可以驗證誰是真正的主元素。

**************************c++實現下次更新*************************

完整的測試**：

#include#include#includeusing namespace std;

vectormajorityelement(vector& nums)

else if (cnt2 == 0) else

}int count1=0,count2=0,tmp=0;

for(int i=0;in/3)

res.push_back(tmp1);

if(count2>n/3)

res.push_back(tmp2);

return res;

}int majorityelement2(vector& nums)

else if (cnt2 == 0) else

}int count1=0,count2=0,tmp=0;

for(int i=0;icount2)

return tmp1;

else return tmp2;

}int majorityelement4(vector& nums)

else if (cnt2 == 0) else if (cnt2 == 0) else

}int count1=0,count2=0,count3=0;

for(int i=0;imymap;

mymap.insert(pair(count1, tmp1));

mymap.insert(pair(count2, tmp2));

mymap.insert(pair(count3, t***));

map::iterator iter = mymap.find(c);

return iter->second;

}int main()

; int arr3=;

int arr=;

vectorvec2(arr2,arr2+7);

vectorvec3(arr3,arr3+4);

vectorvec(arr,arr+10);

vectorresult;

int a,b,c;

a = majorityelement2(vec2);

b = majorityelement3(vec3);

c = majorityelement4(vec3);

result = majorityelement(vec);

cout<<"出現1/2次以上的數："<::iterator iter=result.begin();iter !=result.end();++iter)

cout<<*iter<<" ";

cout<

參考

主元素問題

主元素問題

主元素問題

主元素問題 Majority Element

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