公理系統與有限幾何（2）

公理系統與有限幾何

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（2）公理系統及對偶

研究任何數學都要了解演繹推理的性質，而幾何就是用來教會中學生應用這種方法的一門學科。選擇幾何來擔當這個角色是有重要歷史原因的，但這些重要原因很少有人在中學裡向學生說明過。本節我們就來介紹在討論在演繹推理中至關重要的術語，這樣就能使我們容易理解幾何歷史對現**解的演繹推理系統的影響。

演繹推理是在乙個按邏輯結構嚴密組織起來的所謂「公理系統」的正文中出現的。這樣的系統由下列部分組成：

1.不定義的項（terms，或術語）；

2.加以定義的項（terms，或術語）；

3.一些公理；

4.乙個邏輯系統；

5.一些定理。

本節我們討論前面3項內容。。

2. 射影平面公理系統與對偶

以下先介紹平面射影幾何的公理系統，包括有限和無限平面射影幾何。

不定義概念：

包括點（point），直線（line），和相結合（incidence）；

射影平面公理：共有6條，但在綜合射影幾何中為4條：

公理1）任意2個不同點與且僅與1根直線相結合；

公理2）任意2根不同直線至少與1個點相結合；

公理3）至少存在4個點，其中任意3點不共線；

公理4）乙個完全4邊形的3個對角點永不共線；

注意，其中第一條公理與歐幾里得平面幾何的乙個公理完全一樣，即兩點決定一線，但第2條公理在歐氏幾何中是沒有的，此公理保證了在射影幾何中任意2根線一定相交，沒有平行線。注意，公理1與公理2是對偶的兩個命題，所謂對偶命題，就是把其中的點與線交換得到的兩個命題。公理1的的對偶命題應該是：

任意2個不同直線與且僅與1個點相結合；

這與公理2

任意2根不同直線至少與1個點相結合；

看來不一樣，前者是2線只決定乙個點，

後者是2線決定至少乙個點，

射影幾何的點和線是對偶的，它的公理有如下4條（來自維基百科）：

這4條公理中，第一條和第4條明顯是對偶的，但是好像第2條和第3條不是對偶的