嘛~最近剛剛學會樹狀陣列，寫個blog記錄一下心得。
樹狀陣列呢，核心是乙個叫lowbit的東西，lowbit(x)=x&-x=x的最後一位1的大小。
一、乙個經典問題
乙個初始值為0的k位計數器，要求支援n次+1操作。時間複雜度？經典解法：
法i：考慮第i位的改變次數，可得o(奇怪向做法：∑k−1
i=0n
2i)≤
o(∑∞
i=0n
2i)=
o(n)
。 法ii：考慮計數器中1的數量，顯然每次只會增加1個（減少若干個），所以時間複雜度o(
n)。
法iii：考慮勢能函式f(t)=計數器中1的數量，則顯然單次操作均攤o(1)。
對於x，考慮大於x的第乙個y使得y&lowbit(x)==0（lowbit(x)第一次被進製），顯然y=x+lowbit(x)。所以由x向x+lowbit(x)連一條邊。這樣的話顯然會形成一棵樹，計數器操作的代價就是點數+邊數等於o(n)。這棵樹就是樹狀陣列啦！
二、樹狀陣列中的一些基本關係
x的父親是x+lowbit(x)。
x的子樹是(x-lowbit(x),x]，（即所有能通過若干次+lowbit到達x的節點集合）。
考慮x一直沿著它父親走，那麼lowbit一定是嚴格單增的，所以樹高是o(
log2n)
的。 考慮x的兒子，就是能通過一次+lowbit操作到達x的元素數量，它顯然等於
log2lo
wbit
(x) ，就等於
，所以乙個節點的兒子數量也是o(
log2n)
的。更直觀的說法是，x的兒子數量其實就等於從x-1 +1（上文中的例題）時被進製的（消失的）1的數量。
三、基本的樹狀陣列怎麼寫？
我們先來考慮乙個簡單的問題，就是求區間和。要求支援單點修改，區間詢問。
那麼我們對於每個節點儲存它的子樹的和。
修改每個節點的時候直接沿著父親一路找上去就可以了。
void add(int x,int delta)log2n)
棵子樹。
int query(int x)比如說我們有乙個陣列a，我們要建出它的bit，我們該怎麼做呢？
我以前的做法是把n個數插入進去。
但顯然這是不必要的。
我們可以從1~n遞推，假設推到i時bit[i]已經推出來了，那麼顯然它只需貢獻給bit[i+lowbit(i)]即可。
void build()
}
顯然，樹狀陣列維護最值的話，只能支援兩種操作：增大乙個位置的數，查詢字首最值。
這看起來非常苛刻，但是其實在很多情況下，都是滿足的。最常見的是bit+掃瞄線/dp這種的。
但是，如果時間複雜度允許是o(
log22n
) ，樹狀陣列也是可以做到維護最值的。
初始化當然不必說。
void build()
}
log2n)
個祖先，而每個祖先又有o(
log2n)
個兒子。
void update(int x,int a)
}
log2n)
個點，所以被完全覆蓋的子樹顯然只有o(
log22n
) 個。
int query(int l,int r)
return ans;
}
log22n
) 的玩意兒顯然是沒什麼卵用的東西。僅供娛樂~
六、維護字尾？
q：如何支援單點修改，字尾和查詢？
a：= =這不跟區間查詢一樣麼。
q：查兩邊字首和？常數太大！不開心。
a：那就把原陣列反過來不就行了麼。
q：座標什麼的反來反去，很麻煩的。好煩人，不開心！
a：。。。
其實。。我們只需要把修改和詢問改一下下就好了！
先上**：
void build()
}void add(int x,int delta)
int query(int x)
但為什麼可以這樣搞？！
我們可以將修改看成是在樹上打永久化的標記，查詢就是在收集標記。
但是，我們需要更高逼格的解釋方法。
注意到樹狀陣列中x的父親是x+lowbit(x)，而如果x+lowbit(x)>n，那麼其實它的父親是不存在的，就是說其實它是一棵森林。我們在build的時候為了防止陣列越界，還要特判一下，好煩人！
所以我們不妨把x的父親改為x-lowbit(x)，這樣就是一棵以0為根的樹啦！這樣的話，x的子樹就是[x,min(n,x+lowbit(x)-1)]。上述**就變得顯而易見了。
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