今天在看matrix 大牛的部落格時, 發現乙個有趣的問題, 學習學習下 >.<
正多變形的滾動與旋輪線下方的面積
問題描述:
乙個圓盤在地面上滾動一周，那麼圓周上一點所形成的軌跡就叫做旋輪線（或者擺線）.
旋輪線下方的面積是多少? 推廣至正多邊形, 旋輪線下方的面積又是多少?
問題分析:
1.在問題是圓的情況下, 顯然我們可以用引數方程的方法求得座標: (x-r*sin(x/r), r-r*cos(x/r));
定積分方法：
結果: 3πr^2
(我自己的想法是外接圓,當n無限大時, 正多邊形蛻變成圓的問題.)
以下是matrix證明方法:
2. 假設正多邊形的外接圓半徑為 r ，從外接圓上任意一點出發，依次與該多邊形的 n 個頂點相連，則這 n 條連線的長度的平方和等於 2n · r2 。我們來證明這個結論。
把正多邊形的中心放在平面直角座標系的原點處，把外接圓上的那個點記作 (u, v) ,
再假設多邊形 n 個頂點的位置分別是 (a1, b1), (a2, b2), …, (an, bn) ，則這 n 條連線的平方和為
σ((u - ai)2 + (v - bi)2)
= σ(u - ai)2 + σ(v - bi)2
= n · u2 - 2u · σai + σai
2 + n · v2 - 2v · σbi + σbi
2 = n · (u2 + v2) - 2u · σai - 2v · σbi + σ(ai
2 + bi2)
顯然， u2 + v2 以及所有的 ai
2 + bi
2 都等於 r2 ，因此上面的式子也就等於了 2n · r2 - 2u · σai - 2v · σbi .
接下來，我們只需要說明 σai 和 σbi 都為 0 即可。其實這是顯然的：
因為正多邊形 n 個頂點的重心在中心 (0, 0) 處，說明這 n 個頂點的所有橫座標之和就是 0 ,
所有縱座標之和也為 0 。
特別地，把外接圓上的那個點取成正多邊形的頂點，於是我們得到，
從正 n 邊形的某個頂點出發，連線其他 n - 1 個頂點，如果把這 n - 1 條連線分別
記作 d1, d2, …, dn-1 ，則有：
d12 + d2
2 + … + dn-1
2 = 2n · r2
3.現在，假設正多邊形的外接圓半徑為 r ，把這個正多邊形的面積記作 a 。如圖，折線段下方的面積可以被分成 n - 2 個藍色三角形和 n - 1 個紅色三角形（圖中所示的是 n = 9 的情況）。這 n - 2 個藍色三角形恰好能拼成乙個原多邊形，它們的面積和為 a 。下面，我們來看一下剩下的 n - 1 個紅色三角形都是怎麼形成的。正多邊形一共轉動了 n - 1 次，每一次都是繞著乙個新的頂點在轉動，這 n - 1 個紅色三角形就是在這 n - 1 次轉動中產生的。容易看出，每個紅色三角形都是等腰三角形，它們的腰長分別為 d1, d2, …, dn-1。同時，由於 n 次轉動後正多邊形將回到原來的方向，因此每一次正多邊形都轉過了 (360/n)° 。因此，每個紅色等腰三角形的頂角也都是 (360/n)° 。於是你會發現，第 i 個紅色三角形的形狀與正多邊形的其中 1/n 塊完全一樣，只不過有乙個 di : r 的相似比！注意到面積比是相似比的平方，於是所有紅色三角形的面積之和為：
(a/n) · d1
2 / r2 + (a/n) · d2
2 / r2 + … + (a/n) · dn-1
2 / r2
= (a/n) · (d1
2 + d2
2 + … + dn-1
2) / r2
= (a/n) · 2n · r2 / r2
= 2a
因此，折線下方的面積是 3a ，即原正多邊形面積的三倍.
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