從乙個例項中學習DTW演算法

dtw為(dynamic time warping,動態時間歸準)的簡稱。應用很廣，主要是在模板匹配中，比如說用在孤立詞語音識別，計算機視覺中的行為識別，資訊檢索等中。可能大家學過這些類似的課程都看到過這個演算法，公式也有幾個，但是很抽象，當時看懂了但不久就會忘記，因為沒有具體的例項來加深印象。

這次主要是用語音識別課程老師上課的乙個題目來理解dtw演算法。

首先還是介紹下dtw的思想：假設現在有乙個標準的參考模板r，是乙個m維的向量，即r=，每個分量可以是乙個數或者是乙個更小的向量。現在有乙個才測試的模板t，是乙個n維向量，即t=同樣每個分量可以是乙個數或者是乙個更小的向量，注意m不一定等於n，但是每個分量的維數應該相同。

由於m不一定等於n，現在要計算r和t的相似度，就不能用以前的歐式距離等類似的度量方法了。那用什麼方法呢？dtw就是為了解決這個問題而產生的。

首先我們應該知道r中的乙個分量r（m）和t中的乙個分量t（n）的維數是相同的，它們之間可以計算相似度（即距離）。在運用dtw前，我們要首先計算r的每乙個分量和t中的每乙個分量之間的距離，形成乙個m*n的矩陣。（為了方便，行數用將標準模板的維數m，列數為待測模板的維數n）。

然後下面的步驟該怎麼計算呢？用個例子來看看。

這個例子中假設標準模板r為字母abcdef(6個)，測試模板t為1234(4個)。r和t中各元素之間的距離已經給出。如下：

既然是模板匹配，所以各分量的先後匹配順序已經確定了，雖然不是一一對應的。現在題目的目的是要計算出測試模板t和標準模板r之間的距離。因為2個模板的長度不同，所以其對應匹配的關係有很多種，我們需要找出其中距離最短的那條匹配路徑。現假設題目滿足如下的約束：當從乙個方格((i-1,j-1)或者(i-1,j)或者(i,j-1))中到下乙個方格(i,j)，如果是橫著或者豎著的話其距離為d(i,j)，如果是斜著對角線過來的則是2d(i,j).其約束條件如下影象所示：

其中g(i,j)表示2個模板都從起始分量逐次匹配，已經到了m中的i分量和t中的j分量，並且匹配到此步是2個模板之間的距離。並且都是在前一次匹配的結果上加d(i,j)或者2d(i,j),然後取最小值。

所以我們將所有的匹配步驟標註後如下：

怎麼得來的呢？比如說g(1,1)=4, 當然前提都假設是g(0,0)=0,就是說g(1,1)=g(0,0)+2d(1,1)=0+2*2=4.

g(2,2)=9是一樣的道理。首先如果從g(1,2)來算的話是g(2,2)=g(1,2)+d(2,2)=5+4=9,因為是豎著上去的。

如果從g(2,1)來算的話是g(2,2)=g(2,1)+d(2,2)=7+4=11,因為是橫著往右走的。

如果從g(1,1)來算的話，g(2,2)=g(1,1)+2*d(2,2)=4+2*4=12.因為是斜著過去的。

綜上所述，取最小值為9. 所有g(2,2)=9.

當然在這之前要計算出g(1,1),g(2,1),g(1,2).因此計算g(i,j)也是有一定順序的。

其基本順序可以體現在如下：

計算了第一排，其中每乙個紅色的箭頭表示最小值**的那個方向。當計算了第二排後的結果如下：

最後都算完了的結果如下：

到此為止，我們已經得到了答案，即2個模板直接的距離為26. 我們還可以通過回溯找到最短距離的路徑，通過箭頭方向反推回去。如下所示：

到這裡，估計大家動手算一下就會明白了。其實很簡單，通過例子的學習後再回去看那些枯燥的理**式就發現很容易了。

在實際應用中，比如說語音識別中的孤立詞識別，我們首先訓練好常見字的讀音，提取特徵後作為乙個模板。當需要識別乙個新來的詞的時候，也同樣提取特徵，然後和訓練資料庫中的每乙個模板進行匹配，計算距離。求出最短距離的那個就是識別出來的字了。

matlab**：

function dist =dtw(t,r)
n = size(t,1
);m = size(r,1
);%幀匹配距離矩陣
d =zeros(n,m);
for i = 1
:n 
for j = 1
:m d(i,j) = sum((t(i,:)-r(j,:)).^2
); end
end%累積距離矩陣
d = ones(n,m) *realmax;
d(1,1) = d(1,1
);%動態規劃
for i = 2
:n 
for j = 1
:m d1 = d(i-1
,j);
if j>1
d2 = d(i-1,j-1
); 
else
d2 =realmax;
endif j>2
d3 = d(i-1,j-2
); 
else
d3 =realmax;
endd(i,j) = d(i,j) +min([d1,d2,d3]);
endenddist = d(n,m);

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