分類問題損失函式的資訊理論解釋

2021-07-14 23:12:45 字數 2508 閱讀 7697

分類問題的優化過程是乙個損失函式最小化的過程,對應的損失函式一般稱為logloss,對於乙個多分類問題,其在n個樣本上的logloss損失函式具有以下形式:

上面的損失函式,很容易從最大似然的角度來做理解,也就是說等號右邊的部分,去掉負號以後,對應著模型的乙個估計f在n個樣本上(取了log)的似然函式,而似然函式的最大化就對應著損失函式的最小化。

重新認識熵(entropy)

說起熵,大家都能知道衡量的是「資料的混亂程度」,但是它具體是如何衡量的呢?讓我們首先來重新認識一下熵。

現在是周五的下班高峰期,你站在北京東三環的一座天橋上面,望著一輛輛汽車穿梭而過。你現在肩負著乙個任務:你需要告訴我你看到的每一輛車的品牌型號,而我們的通訊工具,是乙個二進位制的通訊管道,裡面只能傳輸0或者1,這個管道的收費是1¥/bit。

顯然你需要設計一組二進位制串,每個串對應乙個車型,例如1001對應的是一輛大眾桑塔納。那麼你要如何設計這一組二進位制串呢?具體來說,你會為豐田凱美瑞和特斯拉models設計同樣長度的串嗎?

即使你不精通概率論,你可能也不會這麼做,因為你知道大街上跑著的凱美瑞肯定比models多得多,用同樣長度的bit來傳輸肯定是不經濟的。你肯定會為凱美瑞設計乙個比較短的串,而為models設計乙個長一些的串。你為什麼會這麼做?本質上來講,你是在利用你對分布的先驗知識,來減少所需的bit數量。那具體我們應該如何利用分布知識來對資訊進行編碼呢?

幸運的是,夏農(shannon)老先生證明了,如果你知道乙個變數的真實分布,那麼為了使得你使用的平均bit最少,那麼你應該給這個變數的第i個取值分配log1/yi個bit,其中yi是變數的第i個取值的概率。如果我們按照這樣的方式來分配bit,那麼我們就可以得到最優的資料傳輸方案,在這個方案下,我們為了傳輸這個分布產生的資料,平均使用的bit數量為:

交叉熵(cross entropy)

在上面的例子中,我們利用我們對資料分布y的了解,來設計資料傳輸方案,在這個方案中,資料的真實分布y充當了乙個「工具」的角色,這個工具可以讓我們的平均bit長度達到最小。

但是在大部分真實場景中,我們往往不知道真實y的分布,但是我們可以通過一些統計的方法得到y的乙個估計。如果我們用來設計傳輸方案,也就是說,我們給分布的第i個取值分配log1/yi個bit,結果會是怎樣?

套用之前的式子,將log中的y替換成為y^,我們可以得到,如果使用y^作為「工具」來對資料進行編碼傳輸,能夠使用的最小平均bit數為:

交叉熵永遠大於或等於熵,因為交叉熵是在用存在錯誤的資訊來編碼資料,所以一定會比使用正確的資訊要使用更多的bit。只有當y^和y完全相等時,交叉熵才等於熵。

用交叉熵衡量分類模型質量

現在回到分類問題上來。假設我們通過訓練得到了某模型,我們希望評估這個模型的好壞。從上面通道傳輸的角度來看,這個模型實際上提供了對真實分布y的乙個估計y^。我們說要評估這個模型的好壞,實際是是想知道我們給出的估計y^和真實的分布y相差多大,那麼我們可以使用交叉熵來度量這個差異。

由於交叉熵的物理意義是用y^作為工具來傳輸y平均需要多少個bit,那我們可以計算一下如果用y^來傳輸整個訓練資料集需要多少個bit,首先我們看一下傳輸第n個樣本需要多少個bit。由於估計出來的模型對於第n個樣本屬於第i個類的**概率是y^i(n),而第n個樣本的真實概率分布是yi(n),所以這乙個樣本也可以看做是乙個概率分布,那麼根據交叉熵的定義:

總結

通過上面的講解,我們從資訊理論的角度重新認識了分類問題的損失函式。資訊理論和機器學習是緊密相關的兩個學科,從資訊理論的角度來說,模型優化的本質就是在減少資料中的資訊,也就是不確定性。希望這個理解角度,能夠讓大家對分類問題有乙個更全面的認識。希望對熵有進一步了解的同學,可以讀一下夏農老先生的著名文章《amathematical theory of communication》,有時間的同學更可以研讀一下《elements ofinformation theory》這本巨著,一定會讓你的ml內功發生質的提公升。

本文的靈感和部分內容來自這篇文章:http://

rdipietro.github.io/fri

endly-intro-to-cross-entropy-loss/

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