uva 1451 Average 斜率優化

題意：給出乙個長度為n的字串(01串)，要求找到長度至少為k的連續子串的最大平均值。n<=1e5。

解：對於任意一段[le,ri]的平均值，都有如下求法：(sum[ri]-sum[le-1])/(ri-le+1)

將(le-1,sum[le-1])看成是乙個點，是點le在圖上的點。

對於每個點i，在圖上對應的點都是(i-1,sum[i-1])

用斜率優化+單調佇列  必須保證佇列裡面的元素是凹的,如果是上凸可能會是錯的(取最優元素時會出錯，因為不滿足凹性)。

因為長度至少是l，所以對於每乙個位置x>=l，用單調佇列維護[  1,x-l+1 ],內的點，使其形狀為下凸(凹)。

優化原理：如果，假若佇列裡有3個元素，對應橫座標是  x1-1

那麼 x2-1這個點可以去掉，原因如下：

雖然實際計算時，公式是 sum[x]-sum[x2-1]/(x-x2)並不是 (sum[x-1]-sum[x2-1])/(x-x2+1)

但因為x>x2，仍然可以看成是某個點xp-1，所以完全可以理解為斜率

如果所示的豎直線：如果某點x縱座標》=b，那麼k(x3-1,x)>=k(x2-1,x)

，否則(縱座標=k(x2-1,x),所以x2-1這個點可以去掉，

所以佇列中的點應該是下凸的。

不去掉不但速度變慢，而且因為沒***下凸會出錯。

判斷上凸：

實測兩種方法都能ac

1.kab>=kac

2.kab>=kbc

#include#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;

#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define for0(a, n) for (int (a) = 0; (a) < (n); (a)++)
#define for1(a, n) for (int (a) = 1; (a) <= (n); (a)++)
#define mes(a,x,s) memset(a,x,(s)*sizeof a[0])
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
typedef long long ll;
typedef pairpii;
const int inf =0x3f3f3f3f;
const int maxn= 100000 ;
const double eps=1e-10;
int n,l;
char s[maxn+10];
ll sum[maxn+10];int rear,front,q[maxn+10];
int ansl,ansr;
double ans;
void update(int le,int ri)
else if( (ansr-ansl+1)*(sum[ri]-sum[le-1]) ==(ri-le+1)*(sum[ansr]-sum[ansl-1]) )
printf("%d %d\n",ansl,ansr);
}return 0;}/*
123213
12 5
000101101000
4 20101
*/

#include#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;

#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define for0(a, n) for (int (a) = 0; (a) < (n); (a)++)
#define for1(a, n) for (int (a) = 1; (a) <= (n); (a)++)
#define mes(a,x,s) memset(a,x,(s)*sizeof a[0])
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
typedef long long ll;
typedef pairpii;
const int inf =0x3f3f3f3f;
const int maxn= 100000 ;
const double eps=1e-10;
int n,l;
char s[maxn+10];
ll sum[maxn+10];int rear,front,q[maxn+10];
int ansl,ansr;
double ans;
void update(int le,int ri)
else if( (ansr-ansl+1)*(sum[ri]-sum[le-1]) ==(ri-le+1)*(sum[ansr]-sum[ansl-1]) )
printf("%d %d\n",ansl,ansr);
}return 0;
}

void

update
(int le,
int ri)
elseif(
(ansr-ansl+1
)*(sum[ri]-sum[le-1
])==(ri-le+1
)*(sum[ansr]-sum[ansl-1]))
}}

cross

(q[rear-2
],q[rear-1
],q[rear-1
],i-l+1
)>=
0

cross

(q[rear-2
],i-l+1
,q[rear-1
],i-l+1
)>=
0

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