實際應用中，場景中的光照分為緩慢變化（白天室外）或者突然變化（室內開關燈）。場景中可以有新的物體進來，也可以有舊的物體消失。為了適應這些變化，可以更新訓練集（增加新的樣本，丟棄舊的樣本）。選擇合適的時間週期t，並在時刻t時，有訓練資料集xt
=x(t
),..
.,x(
t−t)
。對於每個新的樣本，我們更新xt
，並且重新計算p(
x|xt
,bg)
。然而，在最近的一段觀測歷史資料中，可能會有屬於目標的畫素，這個概率用p(
xt|x
t,bg
+fg)
表示。我們使用包含m個成分的gmm：
μ 都是均值，
σ 都是方差，有這個兩個引數，就可以唯一確定乙個高斯分布，有m個這樣的高斯分布組合。協方差矩陣是對角矩陣，和單位陣i有相同的維數。加權係數
π 非零，而且和為1。時刻t處，給定乙個新的樣本xt
，遞迴更新方程如下：
其中，α 來描述指數衰減速度，用來限制舊資料的影響。
α 和t的關係是倒數關係。對於新樣本，最大的加權係數的成分，而且它是』close』，o(
t)m 置為1，其他都為0。這裡的』close』意思是，樣本距離某個成分特別接近，也就是某個成分到樣本的mahalanobis距離，比方說小於3個標準差。從第m個成分到樣本的方差的計算如下：
是某個初始化的方差值。如果到達了最大的成分數量，就丟棄加權係數最小的那個成分。
如果成分按照權重降序排列，b可以如下求得：
是資料屬於目標同時不影響背景模型的最大的那部分。例如，如果場景中新來了乙個目標，而且在一段時間靜止了，就可能會產生乙個新增的穩定聚類。由於舊的背景被擋住了，新聚類的權重πb
+1會持續增加。如果物件靜止的時間足夠長，它的權重就可能超過cf
，它就被當作背景了。從(4)式可以看出，物體靜止的時間至少大約是lo
g(1−
cf)/
log(
1−α)
幀。例如，對於cf
=0.1
，α=0.001
來說，物體需要靜止至少105幀才能被當作背景。 π
m 描述了資料屬於gmm中第m個成分的可能性。這個值可以認為是樣本資料來自第m個成分的概率，從這個角度上說，πm
−s定義了乙個潛在的多項式分布。假定我們有t個資料樣本，其中的每乙個屬於gmm中的乙個成分。我們再假定，屬於第m個成分的樣本的數量為
−s和上一節的定義相同。這個假定的多項式分布\nm
−s給出了似然函式：
這個從t個樣本估計得到的π(
t)m ,寫成遞迴的形式如下：
如果把新樣本資料的影響固定下來，即把t固定為t，就得到(4)。這個固定影響的做法，意味著我們更多的相信新樣本資料，而舊的樣本資料的影響會以指數衰減的形式變得不那麼重要。
多項式分布的先驗知識，可以通過使用它的共軛先驗來表示，dirichlet先驗
有乙個很好的物理意義。對於多項式分布，cm
代表樣本中有多少屬於類別m的先驗判據(從最大後驗概率的角度)。在[12]中我們使用負的係數cm
=−c 。負的先驗概率表示，我們只接受存在足夠多判據的類別m。這種先驗和最小化訊息長度準則有關，後者是一種對給定資料尋找合適模型的方法[12]。同時求解極大似然和最大化後驗概率，有
其中=c/t
。這表示，偏置會保持不變，似乎是同時對t個樣本進行處理。(11)的遞迴表示式如下(固定偏置)：
由於m一般不大，ct
也不大，可以進一步近似為：
使用這個式子代替(4)（本文作者做的事情，就是這個）。每次更新後，需要歸一化以保證權重和為1。gmm從單一成分開始，第乙個高斯模型的均值是第乙個樣本的資料，後續的資料進來，就按照前面說的遞迴方法更新。dirichlet先驗如果是負值，就會抑制不被樣本資料支援的成分。這也保證了混合權重為正。對於給定的\alpha=1/t
，至少c=0.01*t個樣本才能支撐乙個成分。c_t=0.01
。注意到(11)的遞迴形式
高斯混合模型
本文就高斯混合模型 gmm,gaussian mixture model 引數如何確立這個問題，詳細講解期望最大化 em,expectation maximization 演算法的實施過程。多維變數x服從高斯分布時，它的概率密度函式pdf為 x是維度為d的列向量，u是模型期望，是模型方差。在實際應用...
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