題目1：
給出乙個資料流，這個資料流的長度很大或者未知。並且對該資料流中資料只能訪問一次。請寫出乙個隨機選擇演算法，使得資料流中所有資料被選中的概率相等。
對於複雜問題一定要學會歸納總結，即從小例子入手，然後分析，得出結論，然後在證明。不然遇到乙個抽象問題，不舉例感覺這個問題，直接解還是比較難的。
對於此問題的難處就是資料流的長度未知，如果已知，so easy。現在進行歸納總結：
1） 長度為1，只有乙個資料，直接返回即可，此資料被返回的概率為1.
2）長度為2，當讀取第一資料時，我們發現並不是最後乙個資料，我們不能直接返回，因為資料流還沒結束，繼續讀取，到第二資料的時候，發現已經結束。所以現在的問題就是等概率返回其中的乙個，顯然概率為0.5。所以此時我們可以生成乙個0到1的隨機數p，如果p小於0.5，返回第二個，如果大於0.5，返回第乙個。顯然此時兩個資料被返回的概率是一樣的。
3）長度為3，我們可以事先分析得到，為了滿足題意，需要保證每個資料返回的概率都是1/3。接下來分析資料流，首先讀取第乙個資料，然後在讀取第二個資料，此時可以按2）處理，保留乙個資料，每個資料顯然為1/2。此時讀取第三個資料，發現到尾部了，為了滿足題意，此時需要一1/3的概率決定是否取此資料。現在分析前兩個數是否也是以1/3的概率返回，如果是則總體都滿足。資料1和資料2同時留下的概率為：1/2 *（1-1/3）= 1/3。1/2只在資料1和資料2pk時，能留下的概率，1-1/3指資料3不被留下的概率。所以，對長度為3的資料流，在讀取第三個資料時，我們可以生成乙個0到1的隨機數p，如果p小於1/3，返回第三個資料，否則，返回前面兩個pk留下的資料。
由上面的分析，我們可以得出結論，在取第n個資料的時候，我們生成乙個0到1的隨機數p，如果p小於1/n，保留第n個數。大於1/n，繼續保留前面的數。直到資料流結束，返回此數。
下面用數學歸納法證明此結論。
1)當n=1時，第乙個元素以1/1的概率返回，符合條件。
2)假設當n=k時成立，即每個元素都以1/k的概率返回，先證明n=k+1時，是否成立。
對於最後乙個元素顯然以1/k+1的概率返回，符合條件，對於前k個資料，被返回的概率為1/k * (1- 1/k+1)=1/k+1，滿足題意。
綜上所述，結論成立。
題目2
對於題目1的要就變為，最後返回的結果長度為k，這就是水塘抽樣
顯然有了對題目1的理解，我們可以直接替換結論，只需把上面的1/n變為k/n即可。
在取第n個資料的時候，我們生成乙個0到1的隨機數p，如果p小於k/n，替換池中任意乙個為第n個數。大於k/n，繼續保留前面的數。直到資料流結束，返回此k個數。但是為了保證計算機計算分數額準確性，一般是生成乙個0到n的隨機數，跟k相比，道理是一樣的。
可以以同樣的方法證明之。
（1）初始情況k<=n，出現在水庫中的k個元素的出現概率都是一致的，都是1
（2）第一步。第一步就是指，處理第k+1個元素的情況。分兩種情況：元素全部都沒有被替換；其中某個元素被第k+1個元素替換掉。
我們先看情況2：第k+1個元素被選中的概率是k/(k+1)（根據公式k/i），所以這個新元素在水庫中出現的概率就一定是k/(k+1)（不管它替換掉哪個元素，反正肯定它是以這個概率出現在水庫中）。下面來看水庫中剩餘的元素出現的概率，也就是1-p(這個元素被替換掉的概率)。水庫中任意乙個元素被替換掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1個元素被選中，然後自己在集合的k個元素中被選中。那它出現的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出來，舊元素和新元素出現的概率是相等的。
情況1：當元素全部都沒有替換掉的時候，每個元素的出現概率肯定是一樣的，這很顯然。但具體是多少呢？就是1-p(第k+1個元素被選中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。
（3）歸納法：重複上面的過程，只要證明第i步到第i+1步，所有元素出現的概率是相等的即可。
偽**如下：
//stream代表資料流
//reservoir代表返回長度為k的池塘
//從stream中取前k個放入reservoir；
for ( int i = 1; i < k; i++)
reservoir[i] = stream[i];
for (i = k; stream != null; i++) {
p = random(0, i);
if (p < k) reservoir[p] = stream[i];
return reservoir;
水塘抽樣（Reservoir sampling）
水塘抽樣 reservoir sampling 題目 給出乙個資料流，這個資料流的長度很大或者未知。並且對該資料流中的資料只能訪問一次。請寫出乙個隨機選擇演算法，使得資料流中所有資料被選中的概率相等。這個問題的擴充套件就是 如何從未知或者很大樣本空間隨機的取k個數？或者說，資料流長度為n行，要隨機抽...
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