B樹,B 樹,B 樹,B 樹

2021-07-22 06:40:14 字數 3202 閱讀 2588



b樹

即二叉搜尋樹(bst):

1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子(left和right);

2.所有結點儲存乙個關鍵字;

3.非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹,右指標指向大於其關鍵字的子樹;

如:

b樹的搜尋,從根結點開始,如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等,那麼就命中;否則,如果查詢關鍵字比結點關鍵字小,就進入左兒子;如果比結點關鍵字大,就進入右兒子;如果左兒子或右兒子的指標為空,則報告找不到相應的關鍵字;

如果b樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多(平衡),那麼b樹的搜尋效能逼近二分查詢;但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是,改變b樹結構(插入與刪除結點)不需要移動大段的記憶體資料,甚至通常是常數開銷;

如:

但b樹在經過多次插入與刪除後,有可能導致不同的結構:

右邊也是乙個b樹,但它的搜尋效能已經是線性的了;同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引;所以,使用b樹還要考慮盡可能讓b樹保持左圖的結構,和避免右圖的結構,也就是所謂的「平衡」問題; 

實際使用的b樹都是在原b樹的基礎上加上平衡演算法,即「平衡二叉樹」;如何保持b樹結點分布均勻的平衡演算法是平衡二叉樹的關鍵;平衡演算法是一種在b樹中插入和刪除結點的策略;

b-樹

是一種多路搜尋樹(並不是二叉的):

1.定義任意非葉子結點最多只有m個兒子;且m>2;

2.根結點的兒子數為[2, m];

3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[m/2, m];

4.每個結點存放至少m/2-1(取上整)和至多m-1個關鍵字;(至少2個關鍵字)

5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1;

6.非葉子結點的關鍵字:k[1], k[2], …, k[m-1];且k[i] < k[i+1];

7.非葉子結點的指標:p[1], p[2], …, p[m];其中p[1]指向關鍵字小於k[1]的子樹,p[m]指向關鍵字大於k[m-1]的子樹,其它p[i]指向關鍵字屬於(k[i-1], k[i])的子樹;

8.所有葉子結點位於同一層;

如:(m=3)

b-樹的搜尋,從根結點開始,對結點內的關鍵字(有序)序列進行二分查詢,如果命中則結束,否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點;重複,直到所對應的兒子指標為空,或已經是葉子結點;

b-樹的特性:

1.關鍵字集合分布在整顆樹中;

2.任何乙個關鍵字出現且只出現在乙個結點中;

3.搜尋有可能在非葉子結點結束;

4.其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢;

5.自動層次控制;

由於限制了除根結點以外的非葉子結點,至少含有m/2個兒子,確保了結點的至少利用率,其最底搜尋效能為:

其中,m為設定的非葉子結點最多子樹個數,n為關鍵字總數;

所以b-樹的效能總是等價於二分查詢(與m值無關),也就沒有b樹平衡的問題;

由於m/2的限制,在插入結點時,如果結點已滿,需要將結點**為兩個各佔m/2的結點;刪除結點時,需將兩個不足m/2的兄弟結點合併;

b+樹

b+樹是b-樹的變體,也是一種多路搜尋樹:

1.其定義基本與b-樹同,除了:

2.非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同;

3.非葉子結點的子樹指標p[i],指向關鍵字值屬於[k[i], k[i+1])的子樹(b-樹是開區間);

5.為所有葉子結點增加乙個鏈指標;

6.所有關鍵字都在葉子結點出現;

如:(m=3)

b+的搜尋與b-樹也基本相同,區別是b+樹只有達到葉子結點才命中(b-樹可以在非葉子結點命中),其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢;

b+的特性:

1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鍊錶中(稠密索引),且鍊錶中的關鍵字恰好是有序的;

2.不可能在非葉子結點命中;

3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引(稀疏索引),葉子結點相當於是儲存(關鍵字)資料的資料層;

4.更適合檔案索引系統;

b*樹

是b+樹的變體,在b+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標;

b*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*m,即塊的最低使用率為2/3(代替b+樹的1/2);

b+樹的**:當乙個結點滿時,分配乙個新的結點,並將原結點中1/2的資料複製到新結點,最後在父結點中增加新結點的指標;b+樹的**只影響原結點和父結點,而不會影響兄弟結點,所以它不需要指向兄弟的指標;

b*樹的**:當乙個結點滿時,如果它的下乙個兄弟結點未滿,那麼將一部分資料移到兄弟結點中,再在原結點插入關鍵字,最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字(因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了);如果兄弟也滿了,則在原結點與兄弟結點之間增加新結點,並各複製1/3的資料到新結點,最後在父結點增加新結點的指標;

所以,b*樹分配新結點的概率比b+樹要低,空間使用率更高;

小結

b樹:二叉樹,每個結點只儲存乙個關鍵字,等於則命中,小於走左結點,大於走右結點;

b-樹:多路搜尋樹,每個結點儲存m/2到m個關鍵字,非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點;

所有關鍵字在整顆樹中出現,且只出現一次,非葉子結點可以命中;

b+樹:在b-樹基礎上,為葉子結點增加鍊錶指標,所有關鍵字都在葉子結點中出現,非葉子結點作為葉子結點的索引;b+樹總是到葉子結點才命中;

b*樹:在b+樹基礎上,為非葉子結點也增加鍊錶指標,將結點的最低利用率從1/2提高到2/3;

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