10 11學習總結

現在補10.11的坑，假裝現在是10.11。

今天繼續補lch講的動規的坑，學習了線性動規與區間動規，至於樹剖以後再補坑。

1.線性動規

此處拓展到兩個比較重要的演算法

（1）.lcs最長公共子串行.

狀態轉移方程為

f[1][1]=0;

f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;(x=y)

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);(x!=y)

（2）.lis最長上公升子串行.

此處直接引用其nlogn的優化。

借用別人的文章在川大oj上遇到一道題無法用n^2過於是，各種糾結，最後習得nlogn的演算法

最長遞增子串行，longest increasing subsequence 下面我們簡記為 lis。

排序+lcs演算法以及 dp演算法就忽略了，這兩個太容易理解了。

假設存在乙個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的lis長度為5。n

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外，我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到b裡，令b[1] = 2，就是說當只有1乙個數字2的時候，長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後，把d[2]有序地放到b裡，令b[1] = 1，就是說長度為1的lis的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>b[1]，所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5，就是說長度為2的lis的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5，len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的lis最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的lis最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候b[1..2] = 1, 3，len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為b[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4， len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到b[5] = 9，嗯。len繼續增大，到5了。

最後乙個, d[9] = 7，它在b[3] = 4和b[4] = 8之間，所以我們知道，最新的b[4] =7，b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是lis，它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在b中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)～！！！

2.區間動規

典型模型是合併石子問題，以及環形的石子合併問題

首先是正常的石子合併

設dp[i][j]表示第i到第j堆石子合併的最優值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的總數量。那麼就有狀態轉移公式：

給出**

#include
#include
using
namespace
std;
const
int m=10010;
const
int inf=1000000000;
int n,f[m][m],sum[m][m],stone[m];
int main()
for(int len=2;len<=n;len++)}}
cout
<1][n];
return
0; 
}

然而合併問題還有環形的拓展問題，拓展問題要注意字首和的應用以及對於陣列的取值是從0開始的。此問題sum表示從i開始j個石子的和，f表示從i開始j個石子的最優解。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,minsum,maxsum,sum[200],stone[200],mins[200][200],maxs[200][200];
//int mod(int x,int y)
int sums(int x,int y)//sum字首和，sums表示從x開始到x+y的和，都為閉區間 
void get_best()}}
minsum=mins[0][n-1];
maxsum=mins[0][n-1];
for (int i=0;i
}int main()
get_best();
cout
}

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