盒子與小球系列題解

盒子與小球，noi**題庫的一系列題，可在noi題庫中提交。

盒子與小球二：n個有差別的盒子（1<=n<=20）。你有a個紅球和b個藍球。0 <= a <= 15, 0 <= b <= 15。球除了顏色沒有任何區別。你可以將球放進盒子。乙個盒子可以同時放進兩種球，也可以只放一種，也可以空著。球不必全部放入盒子中。程式設計計算有多少種放置球的方法。

我們可以設計乙個狀態，f[i][j][k]表示前i個盒子中放了a個紅球，b個藍球的方案數，那麼考慮轉移，對於當前這個盒子，我們可以放若干個紅球和若干個藍球，即f[i][j][k]=西格瑪（f[i-1][j-l][k-w]），其中l<=j，k<=w，這樣狀態量n^3，轉移n^2，總複雜度為n^5，可以過掉，不過我還看到有更好的方法，在提問裡。

#include#include#includeusing namespace std;
long long f[22][16][16],ans;
int n,a,b;
int main()
for (int j=0;j<=a;j++) 
for (int k=0;k<=b;k++) ans+=f[n][j][k];
printf("%lld\n",ans);
return 0; 
}

盒子與小球三：有n個相同的球，m個不同的盒子，每個盒子最多放k個球，請計算將這n個球全部放入盒子中的方案數模1000007後的結果，n<=5000，m<=5000。

我們可以設計狀態f[i][j]表示前i個盒子放j個求有多少種方法，那麼f[i][j]=西格瑪（f[i-1][j-l]），l的範圍是[0,k]，狀態量是n^2，轉移是o(k)，複雜度是o(n*m*k)，tle，我們考慮優化轉移，我們發現其實l的範圍是固定的，類似於乙個滑動視窗，那麼我們可以維護乙個sum，sum=西格瑪（f[i-1][j-l]），在j增加後，我們令sum=sum-f[i-1][j-k]+f[i-1][j+1]，這樣就做到了o(1)轉移，時間複雜度o(n*m)。

#include#include#includeusing namespace std;
#define maxn 5005
#define mod 1000007
int f[maxn][maxn];
int n,m,k,sum;
int main()
} printf("%d\n",f[m][n]);
return 0; 
}

盒子與小球四：給定n個各不相同的小球，和m個不同的box，有多少種不同的放球方法，使得每個box裡的小球個數不小於ｋ。n,m,k均小於15。

這道題的小球也不相同了，那麼我們考慮用隔板法，我們可以先預設小球是一樣的，爆搜出所有隔板的組合，當我們知道了每個盒子裝幾個小球後，我們有乙個公式：有n1個a1,n2個a2....ni個ai，不同的排列數為（n1+n2+..+ni）!/(n1!+n2!+....+ni!)，這樣只要我們爆搜出所有的隔板組合，我們就能o(1)的知道這種組合的方案數，對於k=0的特殊情況，我們沒有了任何限制，那麼每個球都有m種選擇，那麼答案就是m^n。

#include#include#includeusing namespace std;

int n,r,k;

long long c[20],jj[20],ans;

void dfs(int last,int cnt)

{ if (cnt==r)

{ long long temp=1,res=n;

for (int i=1;i

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