矩陣的最小路徑和 DP

從本文開始，我打算多刷一些動態規劃的題。不僅如此，各種典型演算法也會在分類刷一刷。

【題目】

給定乙個矩陣，從左上角開始每次只能向右或者右下走，最後到達右下角的位置，路徑上所有數字累加起來就是路徑和，返回所有路徑中最小的路徑和。

【舉例】

如果給定的m如下：

1，3，5，9

8，1，3，4

5，0，6，1

8，8，4，0

路徑1，3，1，0，6，1，0是所有路徑中路徑和最小的，所以返回12。

【解答】

這道題是很明顯的動態規劃演算法，動態規劃演算法的一般步驟就是列一張表來存放計算過的值，通常採用陣列實現。這道題的特殊之處在於表的值不僅和自身有關，而且和原矩陣也是相關的。表中的值需要和原矩陣中的值相加，因為我們求的是路徑和。

矩陣如下，只畫了一部分，動態規劃通常會申請+1的空間，i=0和j=0用來存放動態規劃的初始值，這裡我們賦為0，這張表是b[m+1][n+1]。

：0 1 2 3 4

0: 0 0 0 0 0

1: 0 14

918

2:0 9 5

...不難看出，b[1][j]和b[i][1]是取它上下兩個相鄰值再加上原陣列a[i-1][j-1]的值（看1和4），為什麼減一是因為規劃表真實資料從1開始而不是從0開始。這些其實是為了初始化下標為1的這些點。

除了下標為i=1或j=1的部分，其他值（看5）是上下相鄰兩個值得最小值與原陣列a[i-1][j-1]的值相加。這就是dp陣列的公式了。

我第一種解法就沒有初始化，直接放在迴圈裡面做了，不過效率肯定不高，下面是我第一種解法，可以和第二種對比一下。

for(int i=1; i<=m; ++i)   
}

其實最早的第一次解我都沒有考慮到下標為1的應該是max，當時我直接只用了乙個min，然後求得結果為11，還好我認識到了錯誤。

起始也不用std::max，直接相加就行了

下面看第二種完整**，注意第二種只是參考，還有第三種，我沒有刪除這個是為了警示我自己考慮要周全，突然又想到的。

int min_path(const std::vector>& a)
} 
return b[m][n];
}

第三種：分配同樣的大小就可以了，不需要i-1和j-1了。

int min_path(const std::vector>& a)

, ,,};

int find = min_path(a);

std::cout<<"the min path is : "<>::iterator iterator1;

typedef std::vector::iterator iterator2;

for(iterator1 iter= a.begin(); iter!=a.end(); ++iter){

for(iterator2 it = (*iter).begin(); it!=(*iter).end(); ++it)

std::cout<<*it<<' ';

std::cout<