51 nod 1069 Nim遊戲（博弈）

2021-07-25 07:22:37 字數 1680 閱讀 5024

1069 nim遊戲

基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 kb 分值: 0 

難度：基礎題

有n堆石子。a b兩個人輪流拿，a先拿。每次只能從一堆中取若干個，可將一堆全取走，但不可不取，拿到最後1顆石子的人獲勝。假設a b都非常聰明，拿石子的過程中不會出現失誤。給出n及每堆石子的數量，問最後誰能贏得比賽。

例如：3堆石子，每堆1顆。a拿1顆，b拿1顆，此時還剩1堆，所以a可以拿到最後1顆石子。

input

第1行：乙個數n，表示有n堆石子。（1 <= n <= 1000)


第2 - n + 1行：n堆石子的數量。(1 <= a[i] <= 10^9)
output

如果a獲勝輸出a，如果b獲勝輸出b。
input示例

311


1
output示例

a
對於乙個博弈來說，p-position表示previous，代表先手必敗，即後手必勝，n-position表示next，代表先手必勝，後手必敗。


兩個博弈的結論：


若當前狀態為n，至少存在下乙個能達到的狀態是p。（1）


若當前狀態為p，則所有下乙個能達到的狀態是n。（2）


顯然（0, 0, ..., 0）為必勝態n


憑藉這樣，因此我們可以通過記憶化搜尋可以搜出答案，但是時間複雜度是n！級別的。因此需要更高效的方法來解決nim問題。


》bouton's theorem


對於乙個nim遊戲的局面(a1, a2, ..., an)，它是p-position當且僅當a1 xor a2 xor... xor an=0


簡要證明：


顯然（0, 0, ..., 0）為必敗態。


可歸納證明


a）對於p-position局面(a1, a2, ..., an)滿足a1 xor a2 xor... xor an=0，對於所有合法的移動，


不妨設為新局面(a1-x, a2, ..., an)，則


(a1-x) xor a2 xor ... xor an


=(a1-x) xor a2 xor ... xor an xor a1 xor a1


=(a1-x) xor a1!=0（其中a1>x）。


故滿足結論（2）


b）對於n-position局面滿足a1 xor a2 xor... xor an=k！=0，則存在乙個移動使得新局面(a1', a2', ..., an')有a1' xor a2' xor... xor an'=0。因為中存在ai的二進位制在k的最高位上為1，否則k的最高位不能得到，將ai變為ai xor k（故滿足結論（1）


故若nim遊戲局面滿足博弈的兩個結論，故存在必勝/必敗態及必勝態的必勝步驟。


至此，nim遊戲得到基本解決。


#include #include #include #include #include using namespace std;


typedef long long ll;


const int n = 1000000;


const double pi = acos(-1.0);


int main()


{ int n, x, sum=0;


scanf("%d", &n);


for(int i=0;i


 
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