@(微積分)
給定乙個函式，討論其在定義域上是否有界，有三種方法。不敢說常見，提出來思考。
運算規則判定：在邊界極限不存在時
這是三種看似沒什麼用的結論，但是用起來才能明白它的效用。
舉個例子：
討論函式f(
x)=(
x3−1
)sin
x(x2
+1)|
x|在其定義域上的有界性。
分析：這種看著也挺簡單的，對吧。
從這個函式中可以看出，定義域是(−
∞,0)
∪(0,
+∞) 。
分成兩段，那麼問題將轉化為四個極限的求解。
limx→−
∞f(x
) limx→+
∞f(x
) limx→0
+f(x
) limx→0
−f(x
) 如果四個極限存在，則可說明f(x)有界。
分別計算：
limx→−
∞f(x
)=limx→−
∞(x3
−1)s
inx(
x2+1
)|x|
=limx→
−∞(x
3−1)
(x2+
1)(−
x)⋅s
inx
大概可以一眼看出是兩個有界函式之積了。因此極限存在。
同理可得：
limx→+
∞f(x
)=limx→+
∞(x3
−1)s
inx(
x2+1
)|x|
=limx→
−∞(x
3−1)
(x2+
1)x⋅
sinx
也是極限存在。
limx→0
−f(x
)=limx→0
−(x3
−1)s
inx(
x2+1
)|x|
=limx→
0−(x
3−1)
(x2+
1)⋅s
inx−
x=1
limx→0
+f(x
)=limx→0
+(x3
−1)s
inx(
x2+1
)|x|
=limx→
0+(x
3−1)
(x2+
1)⋅s
inxx
=−1
當變元趨近某乙個值時，代入不會出現分母為0，不必猶豫，能代入則代入。
這樣，四個極限都存在，就可以說明函式在定義域內有界了。
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