51nod 貪心入門之二 活動安排問題

2021-07-27 08:30:22 字數 2631 閱讀 3366

有若干個活動,第i個開始時間和結束時間是[si,fi),只有乙個教室,活動之間不能交疊,求最多安排多少個活動?

分析: 我們就是想提高教室地利用率,盡可能多地安排活動。

考慮容易想到的幾種貪心策略:

(1) 開始最早的活動優先,目標是想盡早結束活動,讓出教室。

然而, 這個顯然不行,因為最早的活動可能很長,影響我們進行後面的活動。例如活動開始和結束時間分別為[0, 100), [1,2) ,[2, 3), [3, 4),[4,5],安排[0,100)的這個活動之後,其他活動無法安排,可是最優解是安排除它外的4個活動。

(2) 短活動優先, 目標也是盡量空出教室。但是不難構造如下反例: [0,5) [5,10) [3, 7), 這裡[3,7)最短,但如果我們安排了[3,7),其它兩個無法安排了。但是最優解顯然是安排其它兩個,而放棄[3,7),可見這個貪心策略也是不行的。

(3) 最少衝突的活動優先, 既然上面安排活動是想減少衝突,那麼如果我們優先安排衝突最少的活動可以麼?至少從(1)和(2)看來,這個策略是有效的。真是對的麼? 嘗試這個例子:

看一下[0,2) 和3個活動衝突——3個[1,3)

[2,4)和4個活動衝突3個[1,3)和乙個[3,5)

[4,6)和也和4個活動衝突3個[5,7)和乙個[3,5)

[6,8)和3個活動衝突——3個[5,7)

下面[1,3)和[5,7)每個都和5個活動衝突,

而[3,5)只和兩個活動衝突——[2,4)和[4,6)。

那按照我們的策略應該先安排[3,5), 可是一旦選擇了[3,5),我們最多隻可能安排3個活動。

但明顯第一行的4個活動都可以安排下來,所以這種策略也是不對的。

(4) 看似最不對的策略——結束時間越早的活動優先。這個策略是有效的,我們可以證明。假設最優解opt中安排了m個活動,我們把這些活動也按照結束時間由小到大排序,顯然是不衝突的。假設排好順序後,這些活動是a(1) , a(2), a(3)….am

假設按照我們的貪心策略,選出的活動自然是按照結束時間排好順序的,並且也都是不衝突的,這些活動是b(1), b(2) …b(n)

問題關鍵是,假設a(1) = b(1), a(2) = b(2)…. a(k) = b(k),但是a(k+1) != b(k+1),回答幾個問題:

(1)b(k+1)會在a(k+2), a(k+3), …. a(m)中出現麼?

不會。因為b(k+1)的結束時間是最早的,即f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的開始時間和結束時間都在f(a(k+1))之後,所以b(k+1)不在其中。

(2)b(k+1)和a(1), a(2), …. a(k) 衝突麼?

不衝突,因為a(1), a(2), …. a(k)就是b(1), b(2), …. b(k)

(3)b(k+1)和a(k+2), a(k+3), …. a(m)衝突麼?

不衝突,因為f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的開始時間都在f(a(k+1))之後,更在f(b(k+1))之後。

因此我們可以把a(k+1) 換成b(k+1), 從而最優解和我們貪心得到的解多了乙個相同的,經過乙個乙個替換,我們可以把最優解完全替換成我們貪心策略得到的解。 從而證明了這個貪心策略的最優性。

最後,我們來提供輸入輸出資料,由你來寫一段程式,實現這個演算法,只有寫出了正確的程式,才能繼續後面的課程。

輸入

第1行:1個數n,線段的數量(2 <= n <= 10000)

第2 - n + 1行:每行2個數,線段的起點和終點(-10^9 <= s,e <= 10^9)

輸出

輸出最多可以選擇的線段數量。
輸入示例

3

1 52 3

3 6

輸出示例2貪心,思路是把」線段「左端從小到大排序,然後進行遍歷:

如果一條線段的左端值大於前面線段右端的最短的值,則可選線段數量加一。

以下是ac**

#include#includeusing namespace std;

struct node

no[10005];

bool cmp(const node x, const node y)

int main()

sort(no, no + x, cmp);

long temp,count=1;

temp = no[0].y;

for (i = 0; i < x; i++)

else if (no[i].y < temp)

}cout << count << endl;

return 0;

}

51NOD 活動安排問題之二

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