線性空間是定義在數域 k上滿足某些運算規律的向量集合，而數域本身也是一種特殊的集合。所以我們先講集合，再講數域，最後講線性空間。
集合：兩種表示方式（列舉、性質），並集、交集、和集（元素和的可能值集合）；
數域：一種數集，元素的和、差、積、商仍在數集中，稱為數域，如有理數域、複數域、實數域；
對映：象、原象，到自身的對映（變換），對映的乘積、結合律；
線性空間：乙個集合，元素滿足加法結合律、交換律，數乘（數域 k 上的數）分配率、結合律，存在零元素、負元素，乘 1 不變，稱為數域 k 上的線性空間（向量空間），元素稱為向量，如實線性空間、複線性空間、矩陣空間；
線性空間：線性組合、線性表示、線性相關、最大線性無關組，維數（無關向量組最大個數，dimv=n，vn
）；基與座標：基（基底）、基向量、座標（分量）；
基與座標變換：舊基 x 到新基 y 過渡矩陣 c，基變換公式 y = xc，座標變換公式 η=
c−1ξ
，中介基方法；
線性子空間：線性空間 v 的非空子集 v1
，滿足對加法和數乘封閉；
dimv1≤
dimv
；由 v 上的向量生成的子空間記為 l(
x1,⋯
,xm)
= ；零子空間記為 l(0)；
矩陣的值域：矩陣 a∈
ℝm×n
的值域是其所有列向量構成的子空間，記為： r(
a)=l
(a1,
⋯,an
)=矩陣的核空間：矩陣 a∈
ℝm×n
的核空間定義為 n(
a)= ，即齊次方程組 ax
=0的解空間；n(
a)的維度（即解空間的維度）稱為零度，記為 n(
a)=dimn(a)；
維度與秩：根據「齊次解空間維度+矩陣秩=n」可推：
ranka+
n(a)
=nrankat
+n(a
t)=m
n(a)
−n(a
t)=n
−m擴充定理：子空間的基必可擴充為原空間的基，即必可找到 n-m 個向量使之補充為原空間的基（用歸納法證）；
子空間的交與和（不是並）：子空間的交、和、直和（若和的向量有唯一表示，稱和為直和）；維數公式：
dimv1+
dimv2=
dim(v1
+v2)
+dim(v
1∩v2
) ；直和的基為兩個子空間基的組合；直和的充要條件：
（1）v1∩
v2=l
(0) ；
（2）dim(v
1+v2
)=dimv1+
dimv
2 線性空間與三維空間類似，就是乙個空間，是無窮多個點的集合。在空間中可以定義長度、角度，可以容納運動（縮放、平移、旋轉等），可以通過某個參考係來定義位置座標。而以上線性空間、基底、座標的定義只是這個空間概念的數學語言表達。
線性空間不僅僅侷限於多維向量。例如多項式空間 pn
也是乙個線性空間，維度為 n+1 維，其中任一元素可以由 n+1 個基向量 1,
x,⋯,
xn線性表示。
線性空間就是對線性運算封閉的元素集合。
把矩陣看成對映的話，矩陣的值域就是指其所有可能對映到的向量值構成的集合；
子空間的和就是兩個子空間所有元素可能的線性組合構成的線性空間，直和即兩空間沒有重複（或冗餘）維度；
維數公式的理解：兩空間分別的維度之和，減去冗餘部分（即二者都包含的向量組成空間的維度），自然就是二者和空間的維度。
過渡矩陣求法：
（1）觀察法，找到新基用舊基表示的方式，整理成矩陣；
（2）中介基法，用十分容易表達兩種基的簡單基作為中介基，最終過渡矩陣用兩個過渡矩陣表達（c=
c−11
c2）；
逆矩陣求法：
（1）伴隨陣除以行列式；
（2）(a|
e)初等行變換為 (e
|a−1
) ；
（3）根據定義（ab = e）；
（4）分塊公式；
數學證明方法：直接證明；歸納法；反證法，一定要遍歷所有可能情況。
矩陣論筆記（一） 線性空間與線性變換
1.集合與對映 本節首先介紹了 集合 數域 對映 的一些概念，其中數域是包含0 1，且對加減乘除法封閉的數集。所以顯然偶數集 整數集不是數域，有理數域 實數域 複數域是數域，且任何數域都包含有理數域。2.線性空間及性質 定義1.1 講述了線性空間的定義，在v中定義加法 數乘，如果對這兩個運算封閉 且...
一 線性結構
基礎知識 1.陣列 2.帶頭結點的雙向鍊錶 head first 3.迴圈佇列 例一 最小值問題 問題描述 實現乙個n個元素的線性表，每次可以修改其中乙個元素，也可以詢問閉區間 q,p 中元素的最小值。1 n,m 100000 分析 設塊長l，則一共有n l塊 維護陣列b，儲存每個塊的最小值。每次修...
（一）線性模型
基本形式 給定由d個屬性描述的特徵 x 其中x 是在第i個屬性位置上的取值，這樣就形成了乙個線性函式，定義如下 令 x 1 1寫成向量形式如下 我們的目標就是去求這些引數，如何確定引數，關鍵在於如何去衡量 h x 和y之間的差別。均方誤差是回歸任務中最常用的效能度量，因此我們可以試圖讓均方誤差最小化...