資料結構之紅黑樹

定義：紅黑樹是一顆二叉查詢樹，樹中結點顏色或為紅色或為黑色，且滿足如下條件：

⑴根結點和所有外結點的顏色為黑色；

⑵根結點到任意乙個外結點的路徑上沒有連續的兩個紅色結點，（若乙個結點是紅色，則其兩個兒子結點都是黑色）；

⑶根結點到任意外結點的路徑上都有相同數目的黑色結點。

1：插入操作

插入操作可以概括為以下幾個步驟：

⑴查詢要插入的位置，時間複雜度為o(n)；

⑵將新結點的顏色賦為紅色；

⑶自下而上重新調整該樹為紅黑樹。

其中，第⑵步之所以將新插入的結點顏色賦為紅色，是因為：如果設為黑色，就會導致根到外結點的路徑上有一條路上多乙個額外的黑色結點，這是很難調整的。但是設為紅色結點後，可能會導致出現兩個連續紅色結點的衝突，那麼可以通過顏色調換和樹旋轉來調整。下面討論第⑶步的細節：

設要插入的結點為n，n的父結點為p，p的父結點為g，p的兄弟結點為u。

①如果p是黑色結點，則整棵樹不必調整便是紅黑樹；

②如果p是紅色結點（p的父結點g一定是黑色結點），則插入n後，需要進行調整。調整時有一下三種情況：

⑴n的叔叔結點u是紅色結點

如上圖所示，將p和u調整為黑色並將g調整為紅色。現在新結點n有了乙個黑色的父結點p，因為通過p和u的任何路徑都必定通過結點g，在這些路徑上黑色結點數目沒有改變。但是，紅色結點g的父結點也有可能是紅色的。為了解決這個問題，在結點g上遞迴調整顏色。

⑵n的叔叔u是黑色結點，並且n是左孩子

如上圖所示，對祖父結點g進行一次右旋轉；在旋轉產生的樹中，以前的父結點p現在是新結點n和以前祖父結點g的父結點，然後交換以前父結點p和祖父結點g的顏色。

⑶n的叔叔u是黑色結點，並且n是右孩子

如上圖所示，對p進行一次左旋轉調整新結點n和父結點p的角色；接著按情況⑵進行處理。